顶点式：a、h、k 怎样移动抛物线

图像变换 · Transformations

y = a(x − h)² + k 里的 a、h、k 各自起什么作用？

用三个滑块拉伸、翻转、平移抛物线 y = x²。看顶点去了哪里，为什么 x − 2 是向右移，以及什么时候出现零点。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

a

开口向下

开口向上

1.0

h

0.0

k

0.0

y = a(x - h)^2 + k

与 x 轴的交点有实根

跟着走一遍

1母函数
$a=1$ 、 $h=0$ 、 $k=0$ 时就是 $y=x^2$ ：顶点在原点，开口向上，只有一个零点 $x=0$ 。
2a 负责拉伸和翻转
$a=2$ 时每个高度都翻倍，抛物线看起来更窄。 $a=-0.5$ 时高度减半并翻转，开口朝下。
3h 左右平移，方向与符号相反
令 $h=2$ ：式子变成 $(x-2)^2$ ，顶点移到 $x=2$ ，是向右移。括号在 $x=2$ 时等于零，顶点就在那里。
4k 上下平移，零点随之出现
再令 $k=-3$ ，顶点降到 $(2,-3)$ ，曲线两次穿过 $x$ 轴，零点是 $x=2\pm\sqrt3$ 。把 $k$ 调到 $0$ 以上，零点就消失了。

1
读懂顶点式
$y=a(x-h)^2+k$
平方项 $(x-h)^2$ 永不为负，只在 $x=h$ 时为 $0$ 。所以拐点也就是顶点是 $(h,k)$ ，竖直线 $x=h$ 是对称轴。
2
a 的作用
$a$ 把从顶点量起的每个高度都乘上同一个倍数。 $|a|>1$ 拉伸（变窄）， $0<|a|<1$ 压扁（变宽）， $a<0$ 翻转使开口向下。 $a=0$ 时平方项消失，图像变成水平直线 $y=k$ 。
3
为什么 x − h 是向右移
新图像在 $x$ 处的高度，抄的是旧图像在 $x-h$ 处的高度。要取到旧顶点 $0$ ，需要 $x-h=0$ ，即 $x=h$ 。所以在括号里减 $h$ 是把图像向右移 $h$ ，而在外面加 $k$ 是向上移 $k$ 。括号内的变化作用在 $x$ 上、方向相反；括号外的变化直接作用在 $y$ 上。
4
用顶点式求零点
令 $y=0$ ： $(x-h)^2=-\frac{k}{a}$ 。当且仅当 $-\frac{k}{a}\ge0$ 时有实数根，也就是顶点和开口分别在 $x$ 轴两侧：
$x=h\pm\sqrt{-\frac{k}{a}}$
展开成 $y=ax^2+bx+c$ 后有 $h=-\frac{b}{2a}$ ，这个条件就是熟悉的判别式 $b^2-4ac\ge0$ 。

Q01

$y=3(x+1)^2-4$ 的顶点是？

Q02

$y=-2(x-3)^2-1$ 有几个实数零点？

Q03

把 $y=x^2$ 变成 $y=(x-5)^2$ 是哪种变换？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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