y = A sin(ωx + φ)：振幅、周期与相位平移

正弦型函数 · y = A sin(ωx + φ)

A、ω、φ 分别把 y = sin x 的图像怎样变换？

用三个滑块把 y = sin x 变成 y = A sin(ωx + φ)。看振幅、周期 2π/ω 和起点 −φ/ω 怎样移动，弄清为什么 sin(2x + π/3) 平移的是 π/6 而不是 π/3。

A

2.0

\omega

2.0

\varphi\,(^\circ)

y = A\sin(\omega x + \varphi)

跟着走一遍

1从 y = sin x 出发
$A=1$ 、 $\omega=1$ 、 $\varphi=0$ 时就是 $y=\sin x$ ：从原点开始上升，最高到 $1$ ，每隔 $T=2\pi\approx6.283$ 重复一次。
2A 决定高低
$A=2$ 时每个函数值都翻倍，曲线在 $-2$ 和 $2$ 之间起伏。零点和周期都没动，因为 $A$ 只作用在 $y$ 上。
3ω 决定周期
$\omega=2$ 时角度 $2x$ 跑得快一倍，一个完整的波只占 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi\approx3.142$ 。 $\omega$ 越大，图像横向压得越紧。
4φ 平移的是 φ/ω，不是 φ
令 $\varphi=60^\circ=\frac{\pi}{3}$ 。波的起点满足 $2x+\frac{\pi}{3}=0$ ，即 $x=-\frac{\pi}{6}\approx-0.524$ ：图像**向左平移了 $\frac{\pi}{6}$ **。写成 $y=2\sin 2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 就能看出原因。第一个最高点在 $x=\frac{\pi}{12}\approx0.262$ 。

1
三个参数，各管一件事
$y=A\sin(\omega x+\varphi)\qquad(A>0,\ \omega>0)$
- 振幅 $A$ ：曲线在 $-A$ 与 $A$ 之间起伏。
- 周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ ：一个完整波的长度，它的倒数 $f=\dfrac1T$ 叫频率。
- 初相 $\varphi$ ： $x=0$ 时的相位 $\omega x+\varphi$ ，所以 $f(0)=A\sin\varphi$ 。
2
怎样求平移量
把 $\omega$ 从括号里提出来：
$A\sin(\omega x+\varphi)=A\sin\omega\left(x+\frac{\varphi}{\omega}\right)$
所以是把 $y=A\sin\omega x$ 的图像平移 $\dfrac{\varphi}{\omega}$ ： $\varphi>0$ 向左， $\varphi<0$ 向右。最稳妥的办法是解 $\omega x+\varphi=0$ ，求出这个波的起点。
3
两种变换顺序，平移量不同
从 $y=\sin x$ 变到 $y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$ ：
- 先平移：向左移 $\frac{\pi}{3}$ 得到 $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，再把每个点的横坐标缩为原来的一半。
- 先伸缩：横坐标缩为一半得到 $\sin 2x$ ，再只向左移 $\frac{\pi}{6}$ 。
两条路得到同一条曲线。平移量不同，是因为第二条路里平移作用在已经被 $\omega$ 缩放过的 $x$ 上。
4
最值点、零点与"五点法"
令相位 $\omega x+\varphi$ 分别等于 $0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi$ ，解出 $x$ 。这五个点（零点、最高点、零点、最低点、零点）彼此相隔四分之一个周期，手画一个周期只需要它们。最大值是 $A$ ，在 $\omega x+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ 处取到。

Q01

$y=3\sin\left(4x-\frac{\pi}{5}\right)$ 的周期是？

Q02

$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图像可由 $y=\sin 2x$ 怎样平移得到？

Q03

$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值是？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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