勾股定理：拼图证明

勾股定理 · Proof by rearrangement

为什么每个直角三角形都满足 a² + b² = c²？

把同一个直角三角形复制四份放进一个大正方形。移动它们，空出来的部分从 c² 变成 a² + b²，面积却没有变。

\text{移动}

0.00

a

3.00

b

2.25

a^2 + b^2 = c^2

跟着走一遍

1四个三角形围住 c²
大正方形的边长是 $a+b$ 。四个直角边为 $a$ 、 $b$ 的直角三角形放在四个角上，中间空出一个边长为 $c$ 的斜放正方形，面积是 $c^2$ 。
2只平移，不旋转
移动到一半时，有三个三角形在滑动。没有剪开、拉伸或转动，所以三角形覆盖的面积和原来完全一样。
3现在空出 a² 和 b²
同样四个三角形两两拼成两个矩形，空出一个边长 $a$ 的正方形和一个边长 $b$ 的正方形。大正方形没变，三角形没变，剩下的面积也就相等： $a^2+b^2=c^2$ 。
4对任何直角三角形都成立
改变 $a$ 和 $b$ 再滑动一次，论证从没用到它们的具体数值。 $a=3$ 、 $b=4$ （这里按 $0.6$ 缩放）就得到勾股数 $3^2+4^2=5^2$ 。

1
定理内容
直角三角形的两条直角边为 $a$ 、 $b$ ，斜边为 $c$ ，则
$a^2+b^2=c^2$
从几何上读：斜边上的正方形面积，等于两条直角边上的正方形面积之和。
2
为什么拼图就是证明
两幅图都是同一个面积为 $(a+b)^2$ 的正方形，里面放着同样四个面积各为 $\frac{ab}{2}$ 的三角形。从大正方形里减去三角形，得到
$c^2=(a+b)^2-4\cdot\tfrac{ab}{2}\qquad\text{且}\qquad a^2+b^2=(a+b)^2-4\cdot\tfrac{ab}{2}$
所以两次剩下的面积相等。图里用到一个事实：开始时中间那块确实是正方形，因为它的每个角旁边是三角形的两个锐角，它们加起来是 $90^\circ$ ，剩下的角也是 $90^\circ$ 。
3
同一个证明的代数写法
把第一幅图写成式子： $(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2$ ，即 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$ 。两边消去 $2ab$ ，定理就出来了。
4
它会出现在哪里
两点 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 的距离是 $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ，就是对水平差和竖直差构成的直角三角形用勾股定理。像 $3,4,5$ 、 $5,12,13$ 这样的整数解叫勾股数。逆定理也成立：若 $a^2+b^2=c^2$ ，则 $c$ 所对的角是直角。

Q01

直角三角形两条直角边是 $5$ 和 $12$ ，斜边多长？

Q02

拼图证明中，两幅图之间什么保持不变？

Q03

边长为 $6$ 、 $8$ 、 $11$ 的三角形是直角三角形吗？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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