费马螺线
螺线双臂螺线 r² = a²θ,越向外圈越密——向日葵种子排布背后的图案。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是费马螺线？
费马螺线采用平方根生长律 r = a√θ,由费马于 1636 年提出。半径增长越来越慢,因此外圈一圈比一圈更靠近内圈——与对数螺线的观感正好相反。取平方根的正负两支,得到在原点平滑相接的两条臂,把平面分成两块全等且互相咬合的区域。
它最出名的应用是等面积排布:Vogel 在 1979 年提出的向日葵模型把第 n 颗种子放在 r = √n 处、相邻种子夹黄金角 137.5°,使圆盘被均匀填满。如今一些聚光太阳能电站的定日镜也采用同样的布局。
关键性质
- 相邻两圈之间的每个环带面积相同——这是种子均匀排布的关键。
- 完整曲线(正负两支)在原点处光滑,没有尖点。
- 它是抛物型螺线族 r^n = aⁿθ 中 n = 2 的特例。
- 圈距随生长按 1/√θ 收缩。
- Vogel 模型:r = c√n、θ = n × 137.5°,可复现向日葵花盘。
它出现在哪里
向日葵与雏菊的花盘、太阳能电站定日镜布局,以及减少交叉的电缆盘绕。