阿基米德螺线
螺线等距螺线 r = a + bθ,相邻两圈的间距恒等于 2πb。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是阿基米德螺线？
阿基米德螺线 r = a + bθ 以恒定速度向外生长:每转一整圈,半径恰好增加 2πb,因此圈与圈之间的距离永远相同。阿基米德在公元前 225 年左右的《论螺线》中系统研究了它,并用它完成化圆为方与三等分角——这两件事仅靠尺规是不可能的。
正因为圈距均匀,它是"缠绕起来的实物"的螺线:卷纸、黑胶唱片纹路、钟表发条,以及许多空调里的涡旋压缩机。
关键性质
- 相邻两圈之间的距离恒为 2πb。
- 从原点出发的任意射线与各圈的交点等距分布——这是它的定义性质。
- 对 r = bθ,从 0 到 θ 的弧长为 (b/2)[θ√(1+θ²) + ln(θ + √(1+θ²))]。
- r = bθ 第一圈扫过的面积是外接圆的三分之一——这是阿基米德本人的结果。
- 极坐标切线角随 θ 增大,离中心越远,螺线越接近圆。
它出现在哪里
唱片纹路、涡旋压缩机、钟表发条、螺旋天线,以及 CNC 螺旋走刀路径。