圆的渐开线
螺线从圆上退绕的线端走出的轨迹——让现代齿轮平稳啮合的齿形曲线。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是圆的渐开线？
把一根拉紧的线绕在圆上,再保持张紧地退绕:线的自由端画出的就是圆的渐开线。任一时刻,退绕出的那段线都与圆相切、与曲线垂直,长度恰等于它刚离开的那段圆弧——这些几何事实可以直接从参数方程 x = r(cos t + t·sin t)、y = r(sin t − t·cos t) 中读出。
惠更斯在 1673 年设计摆钟时引入了渐开线,欧拉后来提议将它用作齿轮齿形,并从此成为标准:两条渐开线齿廓的接触点始终落在一条固定的啮合直线上,即使两齿轮中心距略有漂移,转速比也保持精确恒定。
关键性质
- 退绕出的线段始终与基圆相切,并与渐开线垂直。
- 从起始尖点到参数 t 的弧长为 r·t²/2。
- 曲线从圆上的尖点出发,向外无限盘旋。
- 它的渐屈线(法线包络)正是基圆本身。
- 齿轮啮合:两条渐开线的接触点沿一条固定的"啮合线"移动,传动比恒定。
它出现在哪里
几乎所有现代齿轮的齿形、涡旋压缩机壁面,以及经典的"绕线退绕"演示。