曳物线Tractrix
切线段长度恒定的"拖曳曲线"——旋转它便得到双曲几何的伪球面。
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公式与关键数值
- 参数方程
- 渐近线
- 切线段到渐近线的长度
- 面积 · 两支与渐近线之间
a 是牵引绳的长度；x 轴是拉绳一端走过的直线。
01 · 定义
什么是曳物线？
沿直线行走，用长度为 a 的绳子拖一个不情愿移动的物体：物体画出的轨迹就是曳物线。约 1670 年，佩罗在巴黎用桌上的怀表提出这个谜题；惠更斯为曲线命名，莱布尼茨于 1693 年给出分析。它的定义性质就藏在故事里：从曲线上任一点到牵引直线的切线段，长度恒等于 a。
这条曲线的"后世"非常辉煌：绕渐近线旋转曳物线得到伪球面——一个常负曲率的喇叭形曲面。1868 年，Beltrami 在它上面具体实现了双曲几何，把"虚构的几何"变成了拿得起放得下的实物。
02 · 性质
关键性质
- 曲线上任一点到渐近线的切线段长度恒为 a。
- x 轴是渐近线；曲线从尖点 (0, a) 出发。
- 它的渐屈线（法线包络）是悬链线。
- 绕渐近线旋转得到伪球面：高斯曲率恒为 −1/a²。
- 伪球面虽无限延伸，面积却是有限的 4πa²，体积也有限。
03 · 问答
关于曳物线的常见问题
- 曳物线的方程是什么？
- 参数方程：x = a(t - tanh t)，y = a/(cosh t)。a 是牵引绳的长度；x 轴是拉绳一端走过的直线。
- 曳物线的面积是多少？
- 面积（两支与渐近线之间）：A = (π a^2)/2。a 是牵引绳的长度；x 轴是拉绳一端走过的直线。
04 · 继续探索