摆线的方程是什么？

参数方程：x = r(t - sin t)，y = r(1 - cos t)。r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。

摆线的弧长是多少？

弧长（一拱）：L = 8r。r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。

面积（一拱下方）：A = 3π r^2。r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。

滚动车轮边缘一点画出的拱形曲线——最速降线与等时降线两大问题的共同答案。

调节参数

拱数2

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r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

在车轮边缘做一个记号，让车轮沿直线滚动：这个点起起落落，画出一串拱形，这就是摆线。每个拱水平跨度 2πr、最高点 2r，落地处形成尖点。伽利略给这条曲线命名，并试图通过称量剪下的纸片来测它的面积。

摆线因引发的争论之多被称为"几何学家的海伦"。它同时回答了两个著名的物理问题：倒扣的摆线是最速降线（重力作用下两点间下滑最快的轨道，约翰·伯努利 1696 年公开挑战后由变分法证明），也是等时降线（小球无论从曲线哪一点释放，滑到底部耗时相同——惠更斯据此设计理想摆钟）。

02 · 性质

03 · 问答

摆线的方程是什么？: 参数方程：x = r(t - sin t)，y = r(1 - cos t)。r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。
摆线的弧长是多少？: 弧长（一拱）：L = 8r。r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。
摆线的面积是多少？: 面积（一拱下方）：A = 3π r^{^2}。r 是滚动圆的半径（图中 r = 1），t 是圆转过的角度。

04 · 继续探索