摆线
滚动曲线（旋轮线族）滚动车轮边缘一点画出的拱形曲线——最速降线与等时降线两大问题的共同答案。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是摆线？
在车轮边缘做一个记号,让车轮沿直线滚动:这个点起起落落,画出一串拱形,这就是摆线。每个拱水平跨度 2πr、最高点 2r,落地处形成尖点。伽利略给这条曲线命名,并试图通过称量剪下的纸片来测它的面积。
摆线因引发的争论之多被称为"几何学家的海伦"。它同时回答了两个著名的物理问题:倒扣的摆线是最速降线(重力作用下两点间下滑最快的轨道,约翰·伯努利 1696 年公开挑战后由变分法证明),也是等时降线(小球无论从曲线哪一点释放,滑到底部耗时相同——惠更斯据此设计理想摆钟)。
关键性质
- 一个拱的弧长为 8r——恰好四倍车轮直径(Wren,1658)。
- 一个拱下方的面积为 3πr²——滚动圆面积的三倍。
- 每次触地都形成尖点,该瞬间点的速度为零。
- 倒置后,它同时是最速降线与等时降线。
- 它的渐屈线是平移半个拱的同尺寸摆线。
它出现在哪里
滑板场地的过渡剖面、惠更斯摆钟的摆线颊板、齿轮设计的前身,以及每一门变分法课程。