内摆线的方程是什么？

参数方程：x = (R-r) cos t + r cos(((R-r)/r)t)，y = (R-r) sin t - r sin(((R-r)/r)t)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

内摆线的周长是多少？

周长（k 为整数）：L = 8(R - r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

面积：A = π(R - r)(R - 2r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

小圆在定圆内侧滚动画出的星形；k = 3 是三尖瓣线，k = 4 是星形线。

调节参数

k = R / r（尖点数）5

导出

参数方程: $x = (R-r)\cos t + r\cos\!\big(\tfrac{R-r}{r}t\big)$ $y = (R-r)\sin t - r\sin\!\big(\tfrac{R-r}{r}t\big)$
尖点数 · k 为整数图中 = 5: $k$
周长 · k 为整数图中 = 6.4: $L = 8(R - r)$
面积图中 ≈ 1.508: $A = \pi(R - r)(R - 2r)$

R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

让小圆在大圆内侧无滑动地滚动：圆周上一点描出内摆线。当 k = R/r 为整数时，得到有 k 条内凹边的星形——k = 3 是三尖瓣线，k = 4 是星形线。

k = 2 的情形出人意料：轨迹退化成一条直径。这就是纳西尔丁·图西在 1247 年描述的图西双圆（Tusi couple），它把旋转精确转化为直线运动，几个世纪后又出现在哥白尼的天文学与各种机械连杆中。

02 · 性质

03 · 问答

内摆线的方程是什么？: 参数方程：x = (R-r) cos t + r cos(((R-r)/r)t)，y = (R-r) sin t - r sin(((R-r)/r)t)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。
内摆线的周长是多少？: 周长（k 为整数）：L = 8(R - r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。
内摆线的面积是多少？: 面积：A = π(R - r)(R - 2r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

04 · 继续探索