外摆线的方程是什么？

参数方程：x = (R+r) cos t - r cos(((R+r)/r)t)，y = (R+r) sin t - r sin(((R+r)/r)t)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

外摆线的周长是多少？

周长（k 为整数）：L = 8(R + r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

面积：A = π(R + r)(R + 2r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

小圆在定圆外侧滚动时描出的带尖花形；k = R/r 决定尖点数量。

调节参数

k = R / r（尖点数）5

导出

参数方程: $x = (R+r)\cos t - r\cos\!\big(\tfrac{R+r}{r}t\big)$ $y = (R+r)\sin t - r\sin\!\big(\tfrac{R+r}{r}t\big)$
尖点数 · k 为整数图中 = 5: $k$
周长 · k 为整数图中 = 9.6: $L = 8(R + r)$
面积图中 ≈ 5.278: $A = \pi(R + r)(R + 2r)$

R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

半径为 r 的小圆沿半径为 R 的定圆外侧滚动，小圆边缘一点画出外摆线。当比值 k = R/r 为整数时，曲线滚一圈即闭合，恰有 k 个朝外的尖点：k = 1 是心脏线，k = 2 是肾形线。

"圆上滚圆"的本轮几何支撑了从托勒密到哥白尼的行星天文学，同样的几何如今塑造着钟表与减速器中摆线齿轮的齿侧。尖点出现在描点瞬间触碰基圆、径向运动反向的时刻。

02 · 性质

03 · 问答

外摆线的方程是什么？: 参数方程：x = (R+r) cos t - r cos(((R+r)/r)t)，y = (R+r) sin t - r sin(((R+r)/r)t)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。
外摆线的周长是多少？: 周长（k 为整数）：L = 8(R + r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。
外摆线的面积是多少？: 面积：A = π(R + r)(R + 2r)。R 是定圆半径（图中 R = 1），r 是滚动圆半径，k = R/r。

04 · 奇观

05 · 继续探索