肾形线的方程是什么？

参数方程：x = r(3 cos t - cos 3t)，y = r(3 sin t - sin 3t)。r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。

肾形线的周长是多少？

周长：L = 24r。r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。

面积：A = 12π r^2。r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。

双尖点外摆线——阳光在杯壁内反射时看到的亮线正是它。

调节参数

r（滚动圆半径）1

导出

r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

肾形线（nephroid，"肾形"之意）是有两个尖点的外摆线，由小圆绕半径为其两倍的定圆滚动画出。Proctor 在 1878 年命名了它，而惠更斯早在 1678 年就把它与光学联系起来。

它是日常生活里的焦散线：平行光（阳光）在圆柱形杯壁内反射后，反射光线的包络恰是半条肾形线——咖啡表面那道带尖点的亮线。若光源位于杯沿一点，得到的则是心脏线；两条曲线是回答不同打光方式的近亲。

02 · 性质

03 · 问答

肾形线的方程是什么？: 参数方程：x = r(3 cos t - cos 3t)，y = r(3 sin t - sin 3t)。r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。
肾形线的周长是多少？: 周长：L = 24r。r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。
肾形线的面积是多少？: 面积：A = 12π r^{^2}。r 是滚动圆半径；定圆半径为 2r。