方程完全确定，为什么结果却无法预测？

气象学家洛伦兹把空气受热翻滚的过程简化成三个量：$x$ 是翻滚的快慢，$y$ 和 $z$ 描述温度分布偏离均匀的程度。它们随时间的变化是

这里取他当年用的参数 $\sigma=10$、$\beta=8/3$、$\rho=28$。方程里没有任何随机项：给定起点，以后的每一刻都完全确定。

画面上的轨迹用四阶龙格–库塔法算出，时间步长 0.005。

在这个系统里，两个相邻起点的距离平均每过约 0.77 个时间单位就翻一倍（最大李雅普诺夫指数约 0.906）。指数增长非常快：故事里两个点起初只差 $10^{-5}$，大约 16 个时间单位后就相距超过 1，跟着便是完全不同的两条路。

洛伦兹 1961 年在计算机上重算一段天气模拟，把一个数从 6 位小数四舍五入成 3 位，结果几周后的"天气"面目全非。他在 1972 年的一次演讲题目里问：巴西一只蝴蝶扇动翅膀，会不会在得克萨斯引起一场龙卷风？"蝴蝶效应"由此得名。

这也是天气预报很难准确超过两周的原因之一：初始观测再精确，误差也会被这样放大。

混沌有三个特征同时成立：

• 确定：没有随机性，同样的起点永远给出同样的结果；
• 敏感：起点的微小差别会指数放大；
• 有界且不重复：轨迹永远困在有限的区域里，却从不回到走过的路上。

所以单个点的位置无法长期预测，但三千个点最后铺出的形状每次都一样。这个形状叫奇异吸引子，它是一个分形，维数约为 2.06：比曲面"多"一点点。

$\rho$ 代表加热的强弱（σ、β 保持不变）：

• $\rho<1$：加热太弱，所有点都回到原点，空气不动；
• $1<\rho<24.06$：点最终停在两只翅膀的中心之一，空气稳定地朝一个方向翻滚（$\rho$ 在 13.93 到 24.06 之间时，可能要先乱跳很久才停下）；
• $24.06<\rho<24.74$：蝴蝶和两个静止点同时存在，停在哪里取决于起点；
• $\rho>24.74$：两个中心都不稳定了，只剩蝴蝶。

两只翅膀的中心在 $\left(\pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\ \pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\ \rho-1\right)$，$\rho=28$ 时约为 $(\pm8.49,\pm8.49,27)$。