y = aˣ 与 y = logₐ x：关于 y = x 对称的反函数

指数与对数 · Exponentials & logs

y = aˣ 和 y = logₐ x 是什么关系？底数 a 决定了什么？

拖动底数 a，再让点沿 y = aˣ 移动：它关于 y = x 的对称点正好走在 y = logₐ x 上。看两条曲线为什么都过定点、什么时候递增或递减，以及为什么 e 是在 (0, 1) 处斜率恰好为 1 的底数。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

a

0 < a < 1

a > 1

2.0

x_0

1.0

a^x = y \iff x = \log_a y

x 增大时，y增大（a > 1）

跟着走一遍

1两条曲线，各过一个定点
$a=2$ 时， $y=2^x$ 过点 $(0,1)$ ，因为任何底数都有 $a^0=1$ ； $y=\log_2 x$ 过点 $(1,0)$ 。点 $P=(1,2)$ 在第一条曲线上，它的对称点 $Q=(2,1)$ 在第二条上。
2对数把幂还原
把 $P$ 拖到 $x_0=3$ ： $y_0=2^3=8$ ，而 $\log_2 8$ 又读回 $3$ 。把 $y=a^x$ 上每个点的横纵坐标对调，就得到 $y=\log_a x$ ，所以两条曲线关于 $y=x$ 对称。
3底数小于 1，两条曲线都反过来
$a=0.5$ 时， $y=0.5^x$ 递减： $x_0=-2$ 时 $0.5^{-2}=4$ 。它的对称曲线 $y=\log_{0.5}x$ 也递减。底数大于 1 时两者都递增，在 0 和 1 之间时都递减， $a=1$ 不允许。
4为什么 e 特殊
绿色直线在 $(0,1)$ 处与 $y=a^x$ 相切，斜率是 $\ln a$ ： $a=2$ 时是 $0.693$ 。 $a=2.7$ 时读数是 $0.993$ ，几乎正好是 1。让斜率恰好为 1 的底数就是 $e\approx2.718$ ，所以 $e^x$ 是斜率等于自身的指数函数。

1
同一个等式的两种读法
$a^x=y\iff x=\log_a y\qquad(a>0,\ a\ne1,\ y>0)$
指数问的是" $a$ 的 $x$ 次方是多少"，对数反过来问" $a$ 的几次方等于 $y$ "。所以 $y=\log_a x$ 是 $y=a^x$ 的反函数：它的定义域 $(0,+\infty)$ 就是后者的值域，反之亦然。
2
为什么图像关于 y = x 对称
若 $(m,n)$ 在 $y=a^x$ 上，则 $n=a^m$ ，于是 $m=\log_a n$ ，点 $(n,m)$ 就在 $y=\log_a x$ 上。对调坐标就是关于直线 $y=x$ 的反射，也就是画板上从 $P$ 到 $Q$ 的虚线：它总是在中点处垂直穿过 $y=x$ 。
3
底数决定了什么
- $a>1$ ：两个函数都递增； $x\to-\infty$ 时 $a^x\to0$ ， $x\to0^+$ 时 $\log_a x\to-\infty$ 。
- $0<a<1$ ：两者都递减。 $y=\left(\tfrac1a\right)^x$ 是 $y=a^x$ 关于 $y$ 轴的对称图形。
- 不论底数是多少，指数函数都过 $(0,1)$ ，对数函数都过 $(1,0)$ 。
比较 $\log_2 3$ 和 $\log_3 2$ 就靠这些"锚点"： $\log_2 3>\log_2 2=1$ ，而 $\log_3 2<\log_3 3=1$ 。
4
自然底数 e
直接用斜率的定义： $\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\cdot\dfrac{a^h-1}{h}$ 。后一个因子与 $x$ 无关， $h\to0$ 时它就是 $(0,1)$ 处的斜率，记作 $\ln a$ 。所以任意一点的斜率都等于高度乘以 $(0,1)$ 处的斜率： $(a^x)'=a^x\ln a$ 。取 $a=e\approx2.71828$ 时系数正好是 1，于是 $(e^x)'=e^x$ 。微积分、增长与衰减模型以及 $\ln x=\log_e x$ 都用这个底数，原因就在这里。

Q01

对所有允许的底数 $a$ ， $y=\log_a x$ 都经过哪个点？

Q02

当 $0<a<1$ 时，下列说法正确的是？

Q03

$\log_2 3$ 和 $\log_3 2$ 哪个大？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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