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数学交互实验：函数、微积分、圆锥曲线、几何与概率

函数、微积分、圆锥曲线、几何与概率，每个知识点都是一块可以拖动的画板。

4 个实验集 · 20 章

函数与微积分

拖动参数看图像怎么动：抛物线的平移与伸缩，指数与对数互为镜像，单位圆展开成正弦曲线再由 A、ω、φ 变形，切线告诉你函数在哪里增减、在哪里拐弯，二分法把零点越夹越紧，矩形累加成定积分。

从第一章开始
−8−6−4−22468−4−224Oxyy = x²顶点 (0, 0)
初中高中

顶点式：a、h、k 怎样移动抛物线

y = a(x − h)² + k 里的 a、h、k 各自起什么作用？

顶点式 · 图像平移 · 对称轴

打开实验
−4−2246810−22468Oxyy = xy = aˣy = logₐ x(0, 1)(1, 0)PQ
高中

y = aˣ 与 y = logₐ x：关于 y = x 对称的反函数

y = aˣ 和 y = logₐ x 是什么关系？底数 a 决定了什么？

指数函数 · 对数函数 · 反函数

打开实验
y = sin θcos θsin θPπ/2π3π/22π
初中高中

单位圆上的正弦与余弦

为什么一个点绕圆转动，会画出正弦波？

单位圆 · 弧度制 · 特殊角

打开实验
−6−5−4−3−2−1123456−3−2−1123Oxyy = sin xy = AT起点 ωx + φ = 0最高点
高中

y = A sin(ωx + φ)：振幅、周期与相位平移

A、ω、φ 分别把 y = sin x 的图像怎样变换？

振幅 · 周期 T = 2π/ω · 相位与平移

打开实验
−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.50.51.01.52.02.53.02468Oxyy = x²hΔyQP
高中大学

导数：切线的斜率

为什么导数就是切线的斜率？

割线斜率 · 导数定义 · 切线方程

打开实验
−2.5−2.0−1.5−1.0−0.50.51.01.52.02.5−4−224Oxyy = f′(x)极大值极小值P
高中大学

单调性与极值：从导数的正负读出函数的增减

怎样从 f′(x) 的正负看出函数在哪里递增、哪里递减、在哪里拐弯？

导数的正负 · 单调区间 · 极大值与极小值

打开实验
−2.0−1.5−1.0−0.50.51.01.52.0−3−2−1123Oxyf(m)ab
高中

函数零点与二分法：一次次对半，把零点夹住

不解方程，怎样把 f(x) = x³ − 3x + 1 的零点求到精确到 0.01？

函数的零点 · 零点存在定理 · 二分法

打开实验
0.51.01.52.02.53.03.54.01234Oxyy = x²/4 + 1/2b
高中大学

定积分即面积：黎曼和

细长的矩形怎样拼出曲线下方的精确面积？

黎曼和 · 定积分 · 和式的极限

打开实验

圆锥曲线

先从各自的定义出发：绕在两颗钉子上的定长绳子、到焦点与准线距离相等、到两焦点距离之差为定值；最后用离心率把三者连成一家。

从第一章开始
−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234OxybcaPF₁PF₂A₁A₂F₁F₂P
高中

椭圆：到两个焦点的距离之和为定值

为什么用一根绳子绕两颗钉子就能画出椭圆？b² = a² − c² 又是从哪里来的？

椭圆的定义 · 标准方程 · b² = a² − c²

打开实验
−4−2246810−4−224Oxy准线 x = −p/2ABPFPDDFP
高中

抛物线：到焦点与到准线的距离相等

为什么抛物线 y² = 2px 的焦半径就是 x + p/2？过焦点的弦有多长？

焦点与准线 · 标准方程 y² = 2px · 焦半径

打开实验
−8−6−4−22468−4−224Oxycy = (b/a)xPF₁PF₂A₁A₂F₁F₂P
高中

双曲线：距离之差为定值，以及它的渐近线

双曲线上什么量保持不变？它的两支为什么越来越贴近直线 y = ±(b/a)x，却永远碰不到？

双曲线的定义 · 标准方程 · c² = a² + b²

打开实验
−7−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234Oxy准线PFPDFP
高中大学

圆锥曲线与离心率

为什么一个数就能让圆变成椭圆、抛物线和双曲线？

焦点与准线 · 离心率 · 椭圆、抛物线、双曲线

打开实验

几何与证明

能亲手拆开的证明：移动图形的各个部分，看定理为什么一定成立。

从第一章开始
c²abba
初中高中

勾股定理：拼图证明

为什么每个直角三角形都满足 a² + b² = c²？

直角三角形 · 面积不变 · 无字证明

打开实验
−5−4−3−2−112345−3−2−1123OxyOABP
初中高中

圆周角定理：圆周角等于所对弧的一半

为什么从圆上任一点看同一段弧，张角都一样，而且恰好是圆心角的一半？

圆周角 · 圆心角 · 直径所对的圆周角

打开实验
−7−6−5−4−3−2−11234567−5−4−3−2−112345OxyBCA'B'C'AO
初中高中

相似与位似：边长乘 k，面积乘 k²

从一点出发把三角形放大，为什么角不变？面积为什么变成 k² 倍而不是 k 倍？

位似变换 · 相似三角形 · 相似比

打开实验
−4−3−2−112345678−2−1123456Oxya + ba − bθabO
高中

向量加法与数量积：从 |a||b|cos θ 到 x₁x₂ + y₁y₂

数量积是用长度和夹角定义的，为什么换成坐标后变成 x₁x₂ + y₁y₂，夹角却不见了？

平行四边形法则 · 数量积 · 投影

打开实验

概率与统计

从计数搭起概率：先学会选和排，再数出重复试验的每条路径，把概率读成钟形曲线下的面积，最后看频率怎样随试验次数增加而稳定下来。

从第一章开始
每个位置的选法54×3×= 60 种有序排法每组被数了 6 次60 ÷ 6 = 10 种组合111121133114641151010511615201561172135352171
高中

排列与组合：先按顺序数，再除掉重复的顺序

从 n 个里选 k 个，为什么是 n(n−1)…(n−k+1) 再除以 k!？杨辉三角只用加法，为什么得到的是同一批数？

分步乘法计数原理 · 排列数 · 组合数

打开实验
24681012141618200.10.20.30.4OxyE(X) = 3
高中

二项分布：数出路径，再乘上每条路径的概率

P(X = k) = C(n, k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ 是怎么来的？为什么均值是 np？

独立重复试验 · 二项分布概率 · 均值 np

打开实验
−7−6−5−4−3−2−112345670.10.20.30.40.50.6Oxy−3σ−2σ−1σ+1σ+2σ+3σμ拐点
高中

正态分布：把 68%、95%、99.7% 当作面积量出来

为什么不论 μ、σ 取多少，落在 1 个、2 个、3 个标准差以内的比例都一样？

正态密度曲线 · 概率即面积 · 3σ 原则

打开实验
n = 1n = 10n = 100n = 100000.51p
高中

大数定律：频率为什么会稳定在概率附近

硬币没有记忆，为什么抛的次数越多，正面的比例就越接近一半？

频率与概率 · 平均值的方差 p(1 − p)/n · 切比雪夫不等式

打开实验

其他学科