定积分即面积：黎曼和

定积分与黎曼和 · Riemann sums

细长的矩形怎样拼出曲线下方的精确面积？

用矩形填满 y = x²/4 + 1/2 下方的区域，再不断增加矩形数量。总面积逐渐逼近定积分，误差大约按 1/n 缩小。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

n

b

3.00

L_n \to \int_0^b f(x)\,dx

误差小于 0.01还没有

跟着走一遍

1两块粗糙的矩形
在 $[0,3]$ 上取 $n=2$ ，每个矩形的高取左端点的函数值。曲线在上升，所以每块都偏矮：面积和是 $2.34$ ，而精确面积是 $3.75$ 。
2四块矩形
$n=4$ 时面积和是 $2.98$ 。台阶和曲线之间的空隙就是误差，每一块空隙都是细细的一条。
3十六块矩形
$n=16$ 时面积和是 $3.54$ ，误差约 $0.21$ 。 $n$ 变成四倍，误差大约缩小到四分之一。
4极限就是积分
$n=60$ 时台阶几乎贴着曲线，面积和是 $3.69$ 。当 $n\to\infty$ ，它恰好达到 $\int_0^3 f(x)\,dx = 3.75$ 。

1
切开、近似、相加
直线下方的面积好算，曲线下方的不好算。于是把 $[a,b]$ 切成 $n$ 条宽为 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 的窄条，把每一条近似看成矩形，高取窄条里某个采样点 $x_i$ 的函数值。
$L_n=\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\,\Delta x$
这就是黎曼和。画板上的采样点取每条的左端点，所以 $L_n$ 是左和。
2
定积分的定义
窄条越多，误差的缝隙越细。定积分就是这些和式趋近的值：
$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\,\Delta x$
对连续函数，无论采样点取左端、右端还是中点，极限都相同。
3
算出精确面积
微积分基本定理用原函数代替了求极限。对 $f(x)=\frac{x^2}{4}+\frac12$ ，取原函数 $F(x)=\frac{x^3}{12}+\frac{x}{2}$ ，于是
$\int_0^b f(x)\,dx = F(b)-F(0)=\frac{b^3}{12}+\frac{b}{2}$
$b=3$ 时等于 $\frac{27}{12}+\frac32=3.75$ ，就是读数里显示的值。
4
为什么这里左和偏小
函数递增时，左端点是每条里最低的点，所以每个矩形都在曲线下方， $L_n$ 偏小。右和则会偏大差不多同样的量。两者取平均就是梯形法，精度高得多。

Q01

在 $[0,3]$ 上取 $n=6$ 条， $\Delta x$ 是多少？

Q02

对递增函数，左黎曼和与定积分相比怎样？

Q03

$\int_0^2 \left(\frac{x^2}{4}+\frac12\right)dx$ 等于多少？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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