导数：切线的斜率

导数的几何意义 · Secant to tangent

为什么导数就是切线的斜率？

在 y = x² 上把两点的间距不断缩小，看割线怎样转成切线。割线斜率的极限，就是导数。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

x_0

1.00

h

h → 0

1.50

\frac{\Delta y}{h} \;\to\; f'(x_0)

割线与切线还没有重合

跟着走一遍

1一条宽的割线
从 $P=(1,1)$ 出发，取 $h=1.5$ 。蓝色割线经过 $P$ 和 $Q$ ，水平走 $1.5$ 、上升 $5.25$ ，斜率是 $3.5$ ，和切线差得很远。
2把间距缩小
$h=0.5$ 时斜率是 $2.5$ 。 $h$ 每缩小一次，割线就向绿色虚线切线转近一点。
3几乎贴住
$h=0.05$ 时斜率是 $2.05$ 。规律是精确的：在 $x_0=1$ 处，割线斜率恰好等于 $2+h$ ，所以它趋近于 $2$ 。
4换一个点
把点移到 $x_0=-1$ ，切线变成下降的，斜率是 $-2$ 。 $x^2$ 的导数是 $2x$ ：每个点都有自己的斜率。

1
割线量的是什么
割线连接曲线上的两点 $P=(x_0, f(x_0))$ 与 $Q=(x_0+h, f(x_0+h))$ 。它的斜率是这一段上的平均变化率：
$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
它回答的是"这两点之间平均变得多快"，而不是"在 $P$ 这一点变得多快"。
2
从割线到切线
缩小 $h$ ，让 $Q$ 沿曲线滑向 $P$ 。割线会稳定到同一条直线上，就是切线；它们的斜率也稳定到同一个数，就是导数：
$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
不能直接令 $h=0$ ，那样会得到 $\frac{0}{0}$ 。极限问的是斜率趋近于什么，所以画板上的 $h$ 永远到不了零。
3
例题：y = x² 在 x = 1 处
把差商展开：
$\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h$
当 $h\to 0$ 时它趋于 $2$ ，所以 $f'(1)=2$ 。切线过 $(1,1)$ 、斜率为 $2$ ：
$y-1=2(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=2x-1$
4
导数本身是一个函数
在任意 $x_0$ 处重复这个计算： $\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=2x_0+h\to 2x_0$ ，所以 $(x^2)'=2x$ 。 $x$ 为负时切线下降， $x=0$ 时切线水平，越往右斜率越大。

Q01

对 $f(x)=x^2$ ，在 $x_0=1$ 处取 $h=0.1$ ，割线斜率是多少？

Q02

为什么不能直接把 $h=0$ 代入差商？

Q03

$y=x^2$ 在 $x=-1$ 处的切线是？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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