函数零点与二分法：一次次对半，把零点夹住

零点与二分法 · Zeros & bisection

不解方程，怎样把 f(x) = x³ − 3x + 1 的零点求到精确到 0.01？

先找一个函数值变号的区间，然后一次次对半，总留下仍然变号的那一半。看区间 [a, b] 怎样围着 x³ − 3x + 1 的零点越缩越小，以及什么情况下这个方法无从下手。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

a

0.0

b

1.0

n

b_n - a_n = \dfrac{b - a}{2^n}

f(a) · f(b)< 0：区间内必有零点

跟着走一遍

1变号就夹住了零点
在 $[0,1]$ 上： $f(0)=1>0$ ， $f(1)=-1<0$ 。曲线是连续不断的，所以它一定在两点之间穿过 $x$ 轴。中点 $m=0.5$ 处 $f(0.5)=-0.375$ 。
2留下仍然变号的那一半
$f(0.5)<0$ 而 $f(0)>0$ ，零点在 $[0,0.5]$ 里，另一半扔掉。再对半两次得到 $[0.25,0.375]$ ：做 $n$ 次后区间长度变为原来的 $\frac{1}{2^n}$ ，这里是 $0.125$ 。
3区间够短就停
要精确到 $0.01$ ，需要 $\frac{1}{2^n}<0.01$ ，即 $n=7$ ：区间是 $[0.3438,0.3516]$ ，长度只有 $0.0078$ 。中点 $0.3477$ 与真正的零点 $0.3473$ 相差不到 $0.004$ 。
4不变号，就没有保证
再试 $[-1,2]$ ： $f(-1)=3$ 、 $f(2)=3$ 同号，曲线却在中间穿过 $x$ 轴两次。这个定理只能单向用：变号保证有零点，不变号却什么也说明不了。开始之前要先把区间选小。

1
零点就是图像与 x 轴的交点
函数 $f$ 的零点是使 $f(x_0)=0$ 的实数 $x_0$ 。它不是一个点，而是图像与 $x$ 轴交点的横坐标，也就是方程 $f(x)=0$ 的根。三次函数 $x^3-3x+1$ 有三个零点，约为 $-1.879$ 、 $0.347$ 和 $1.532$ ，都没有简单的表达式。
2
零点存在定理
如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上的图像连续不断，且 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，那么 $f$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个零点。
- 说的是"至少一个"：在 $[-2,2]$ 上变号，里面有三个零点。
- 反过来不成立：在 $[-1,2]$ 上不变号，里面却有两个零点。
- 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上还是单调的，零点就唯一。
3
二分法的步骤
- 选定区间 $[a,b]$ ，使 $f(a)\cdot f(b)<0$ 。
- 取中点 $m=\frac{a+b}{2}$ ，算出 $f(m)$ ；若 $f(m)=0$ ， $m$ 就是零点。
- 若 $f(a)\cdot f(m)<0$ ，零点在 $[a,m]$ 内，令 $b=m$ ；否则令 $a=m$ 。
- 重复，直到 $b-a$ 小于要求的精度，区间内任意一个数都可以作为近似值。
4
要做多少次？
每做一次区间减半，做 $n$ 次后长度是 $\dfrac{b-a}{2^n}$ 。区间长 $1$ 、精度 $0.01$ 时需要 $2^n>100$ ，即 $n=7$ ；精度 $0.001$ 时 $n=10$ 。每一步大约只多换来 $0.3$ 位小数，比牛顿法慢，但只要一开始变号，二分法就一定收敛。

Q01

$f(x)=\ln x+2x-6$ 的零点一定在哪个区间内？

Q02

从长度为 $1$ 的区间开始，至少对半几次，区间长度才小于 $0.05$ ？

Q03

若连续函数 $f$ 满足 $f(a)\cdot f(b)>0$ ，则 $f$ 在 $(a,b)$ 内…

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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