一条 z² + c，为什么能长出无穷无尽的细节？

取一个复数 $c$，从 $z_0=0$ 开始反复计算

得到一串数 $0,\ c,\ c^2+c,\ \dots$，叫做 $c$ 的轨道。如果这串数永远不会跑到无穷远，$c$ 就属于曼德博集合。

判断"跑没跑掉"有一条捷径：只要某一步 $|z_n|>2$，后面就一定越跑越远。所以画图时只需算到 $|z|$ 超过 2，或者算满一个步数上限为止。

故事里的第一个点 $c\approx-0.1226+0.7449i$ 很特别：三步之后正好回到 0，轨道是一个永远重复的三角形。第二个点 $c=-0.75+0.1i$ 离集合只差一点点，第 33 步才逃出去。

集合里的点涂成黑色。集合外的点都会逃走，只是快慢不同：离集合越近，逃得越慢。颜色就表示"第几步逃走"。

为了让颜色连续过渡、没有一圈圈的台阶，这里用的是平滑逃逸值

其中 $n$ 是逃出半径 16 时的步数。离边界越近，$\mu$ 越大，颜色越亮。

故事第三段里，步数上限从 1 慢慢加到 220：上限很小时，很多"迟早会逃"的点还没来得及逃，被错算成集合里的点，所以轮廓一开始是一大团，然后一圈圈收紧。

集合内部是实心的，复杂的是边界。放大任何一段边界，都会出现新的螺旋、触须和花纹，而且放大多少倍都是这样。

• Douady 和 Hubbard 在 1982 年证明：曼德博集合是连通的，看起来散落的小岛其实都由细丝连在一起；
• 宍仓光广在 1998 年证明：它的边界的豪斯多夫维数是 2，一条"线"复杂到和一块面积一样"厚"；
• 它的面积约为 1.5066，但精确值至今不知道。

故事最后看到的副本，在海马谷深处 $c\approx-0.7436442+0.1318254i$，只有约百万分之一宽，要放大三十多万倍才看得清。它有同样的心形主体、同样的圆盘、同样的边界，但不是简单复制：周围的螺旋和细丝与原图并不相同。主体左边伸出去的"天线"上，$c\approx-1.7549$ 附近还有一个大得多的副本，在"去哪看"里可以直接飞过去。

这样的小副本有无穷多个，散布在边界的各个地方。它们的中心叫作核：从 0 出发，若干步后会精确地回到 0。海马谷里那个副本的核每 78 步回到 0 一次；故事开头那个三步一循环的点，则是一个圆盘的核。

显卡算得快，但只有 32 位浮点数，大约 7 位有效数字。放大到一万倍左右，相邻像素对应的 $c$ 就已经分不清了，画面会碎成色块。

这里用的是扰动法：先用 64 位精度在画面中心算一条参考轨道 $Z_n$，每个像素只计算自己和它的差 $\delta_n$：

$\delta$ 很小，32 位也能存得很准。当 $|Z_n+\delta_n|<|\delta_n|$ 或者参考轨道用完时，就把当前值当作新的起点，从参考轨道开头重新对齐，避免误差积累。

这样，网页上最多能放大到约十六万亿倍，再往下就到了 64 位精度的极限。