匀变速直线运动：读懂 v-t 图

匀变速直线运动与 v-t 图 · Velocity–time graphs

怎样从 v-t 图上读出加速度和位移？

设定初速度和加速度，让时间走起来。v-t 图线的斜率就是加速度，图线下方的面积就是位移。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

v_0

2.0

a

匀速

1.0

t

4.00

x = v_0t + \tfrac12 at^2

速度大小在变大

跟着走一遍

1匀速：一个矩形
$a=0$ 时图线是一条水平线， $v_0=3\,\text{m/s}$ 。 $4\,\text{s}$ 后阴影是一个 $3\times4=12$ 的矩形：物体走了 $12\,\text{m}$ 。
2从静止开始加速
令 $v_0=0$ 、 $a=2\,\text{m/s}^2$ 。图线每秒升高 $2$ ，所以 $t=4\,\text{s}$ 时速度是 $8\,\text{m/s}$ 。面积是三角形， $\tfrac12\times4\times8=16\,\text{m}$ 。
3带着初速度加速
$v_0=2$ 、 $a=1$ 时， $4\,\text{s}$ 末速度是 $6\,\text{m/s}$ 。面积是梯形， $\tfrac{2+6}{2}\times4=16\,\text{m}$ ，也就是平均速度乘时间。
4减速，然后反向
以 $6\,\text{m/s}$ 出发， $a=-2$ 。图线在 $t=3\,\text{s}$ 穿过零：物体走了 $9\,\text{m}$ 后停下，再往回走。 $t=5\,\text{s}$ 时 $v=-4$ ，轴下方面积是 $-4$ ，所以位移是 $9-4=5\,\text{m}$ ，而路程是 $13\,\text{m}$ 。

1
斜率就是加速度
加速度描述速度变化的快慢： $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ 。在 $v$ – $t$ 图上，这正是"竖直变化除以水平变化"，也就是斜率。匀变速意味着斜率不变，所以图线是直线：
$v=v_0+at$
图线越陡，加速越猛；图线向下倾斜，就是在减速。
2
面积就是位移
在很短的时间 $\Delta t$ 里，物体大约移动 $v\,\Delta t$ ，相当于一条高 $v$ 、宽 $\Delta t$ 的细条。把细条加起来，就是图线下方的面积。直线下方是梯形：
$x=\frac{v_0+v}{2}\,t=v_0t+\tfrac12at^2$
横轴下方的面积记为负，表示物体在往回走。
3
三个公式，同一张图
匀变速直线运动的所有结论都来自斜率和面积：
$v=v_0+at,\qquad x=v_0t+\tfrac12at^2,\qquad v^2-v_0^2=2ax$
第三个式子由前两个消去 $t$ 得到，适合题目不给时间的情况，比如刹车距离：以 $6\,\text{m/s}$ 、 $a=-2$ 减速，停下前走了 $x=\dfrac{0-36}{-4}=9\,\text{m}$ 。
4
位移不等于路程
图线一旦穿过横轴，物体就掉头了。位移把面积带符号相加，路程把面积的大小相加。引导的最后一步里两者不同：位移 $9-4=5\,\text{m}$ ，路程 $9+4=13\,\text{m}$ 。速度大小是否在变大，要看 $v$ 和 $a$ 两个符号：同号时越来越快，异号时越来越慢。

Q01

汽车从静止开始以 $a=3\,\text{m/s}^2$ 加速， $4\,\text{s}$ 内走了多远？

Q02

$v$ – $t$ 图线在横轴上方、但向下倾斜，表示什么？

Q03

火车以 $20\,\text{m/s}$ 开始刹车， $a=-4\,\text{m/s}^2$ ，刹车距离是多少？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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