相对运动：小船怎样过河

相对运动：小船过河 · Crossing a river

小船船头朝哪儿，过河最快？朝哪儿，才能到达正对岸？

设定船速、船头方向和水流速度。小船对地的速度，等于它相对水的速度加上水的速度：看这组箭头三角形怎样决定过河时间和被冲到下游多远。

v_{\text{boat}}

3.0

\theta\,(^\circ)

90°

v_{\text{water}}

2.0

t

12.00

\vec v_{\text{ground}} = \vec v_{\text{boat}} + \vec v_{\text{water}}

靠岸位置偏离正对岸

跟着走一遍

1船头垂直河岸
河宽 $6\,\text{m}$ 。以 $3\,\text{m/s}$ 船头垂直河岸划，用时 $6/3=2\,\text{s}$ ；但这 $2\,\text{s}$ 里， $2\,\text{m/s}$ 的水流把船冲到下游 $2\times2=4\,\text{m}$ 处。
2水流变快了
把水速加到 $4\,\text{m/s}$ 。过河仍然用 $2\,\text{s}$ ，因为水流只沿河岸方向推船，船只是落在下游 $8\,\text{m}$ 处。船头垂直河岸，过河时间最短。
3斜向上游，到达正对岸
水速调回 $2\,\text{m/s}$ ，把船头转到 $132^\circ$ ，斜向上游。船速沿上游方向的分量 $3\cos48^\circ\approx2\,\text{m/s}$ 正好抵消水流，船几乎落在正对岸。代价是过河时间变成约 $2.69\,\text{s}$ 。
4水比船快的时候
船速 $2\,\text{m/s}$ ，水速 $3\,\text{m/s}$ 。无论船头朝哪，都抵消不了水流，船总会落在下游。船头朝 $132^\circ$ 时漂移约 $6.71\,\text{m}$ ，已经是最小值。

1
速度按箭头相加
船在水中划行，水又相对河岸流动。船相对河岸的速度，是这两个速度首尾相接的矢量和：
$\vec v_{\text{对地}}=\vec v_{\text{船对水}}+\vec v_{\text{水对地}}$
画板上，绿色箭头（船相对水）和蓝色箭头（水）与琥珀色箭头围成一个三角形，琥珀色就是船实际走的方向。
2
过河时间
只有垂直河岸的速度分量能把船送到对岸。船头与河岸夹角为 $\theta$ 时：
$t=\frac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}$
式子里没有水速，因为水流与河岸平行。 $\theta=90^\circ$ 时时间最短， $t_{\min}=\dfrac{d}{v_{\text{船}}}$ 。
3
最短位移
要到达正对岸，对地速度必须垂直河岸，也就是船速沿上游的分量等于水速： $v_{\text{船}}\cos\alpha=v_{\text{水}}$ ， $\alpha$ 是船头与上游河岸的夹角。只有船比水快时才做得到。船比水慢时，漂移最小的方向满足 $\cos\alpha=\dfrac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}}$ ，此时对地速度与船速垂直。

Q01

河宽 $100\,\text{m}$ ，船在静水中速度 $5\,\text{m/s}$ ，水速 $3\,\text{m/s}$ 。最短过河时间是多少？

Q02

同样的河和船，如果要到达正对岸，过河要多久？

Q03

船头始终垂直河岸，若河中央水速突然变大，过河时间会

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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