匀速圆周运动：速度不变，为什么还有加速度

匀速圆周运动 · Circular motion

速度大小一直不变，做圆周运动的物体为什么还有加速度？

拖着物体绕圆转，改变半径和角速度。速度箭头始终沿切线、长度不变；加速度箭头始终指向圆心，大小为 ω²r。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

\varphi

0.60

r

2.0

\omega

1.0

m

1.0

a = \omega^2 r = \dfrac{v^2}{r}

跟着走一遍

1每秒转 1 弧度
$r=2\,\text{m}$ 、 $\omega=1\,\text{rad/s}$ 时，物体每秒走过 $2\,\text{m}$ 的弧长，所以 $v=\omega r=2\,\text{m/s}$ 。转一圈用时 $T=2\pi\approx6.28\,\text{s}$ ，指向圆心的加速度是 $\omega^2r=2\,\text{m/s}^2$ 。
2转快一倍
把 $\omega$ 加倍到 $2$ 。速度加倍到 $4\,\text{m/s}$ ，加速度却变成 $8\,\text{m/s}^2$ ，是原来的 4 倍，因为它和 $\omega^2$ 成正比。
3速度相同，弯更急
令 $r=1$ 、 $\omega=2$ ：速度又回到 $2\,\text{m/s}$ ，和第一步相同，但加速度是 $4\,\text{m/s}^2$ ，翻了一倍。速度一定时 $a=\dfrac{v^2}{r}$ ，半径减半，加速度加倍。
4提供它的那个力
让质量为 $2\,\text{kg}$ 的物体在 $r=2$ 、 $\omega=2$ 下转动，必须有东西以 $F=m\omega^2r=2\times4\times2=16\,\text{N}$ 把它往里拉，可能是绳子、摩擦力或引力。剪断绳子，物体就沿蓝色箭头的方向飞出去。

1
怎样描述圆周运动
每秒转过的角度叫角速度 $\omega$ （单位 rad/s）。一圈是 $2\pi$ 弧度，所以周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ ，频率 $f=\dfrac1T$ 。半径为 $r$ 的圆上， $\varphi$ 弧度对应的弧长是 $r\varphi$ ，于是沿轨迹的速度是：
$v=\omega r$
2
转弯就是在加速
速度是矢量，有方向。在圆周上，速度的长度不变，方向却时刻在转，所以速度在变化，而速度变化就是加速度。这个变化始终指向圆心：
$a=\omega^2r=\frac{v^2}{r}$
它与速度垂直，正因为垂直，它只改变方向、不改变大小。
3
向心力是一个"角色"，不是新的力
由牛顿第二定律，指向圆心的加速度需要指向圆心的合力， $F=m\omega^2r$ 。它总是由真实的力来提供：绳拉小球时是拉力，汽车转弯时是摩擦力，卫星绕地球时是万有引力。题目问向心力时，要找的是哪些真实的力在圆心方向上的合力。

Q01

车轮以 $\omega=4\,\text{rad/s}$ 转动，离轴 $0.5\,\text{m}$ 的点速度是多少？

Q02

汽车以恒定速率过弯。如果以两倍速率通过同一个弯道，需要的摩擦力变为

Q03

匀速圆周运动中，哪个量保持不变？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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