单位圆上的正弦与余弦

单位圆与正弦 · The unit circle

为什么一个点绕圆转动，会画出正弦波？

转动角 θ，追踪单位圆上一个点的高度。把高度沿着角度展开，就是正弦波；水平方向的投影是余弦。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

\theta

sin θ ≥ 0

sin θ ≤ 0

0.90

P = (\cos\theta,\ \sin\theta)

跟着走一遍

1三十度
$\theta=\frac{\pi}{6}$ （30°）时，点 $P$ 的高度是 $\frac12$ 。红色线段是 $\sin\theta$ ，蓝色线段是 $\cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866$ 。
2最高点
$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时点在正上方： $\sin\theta=1$ ， $\cos\theta=0$ 。右边的波也在同一时刻到达波峰。
3转半圈
$\theta=\pi$ 时点到了左边，高度回到 $0$ 。波穿过横轴，走完了半个周期。
4到了横轴下方
$\theta=\frac{3\pi}{2}$ 时点在最低处， $\sin\theta=-1$ 。转满 $2\pi$ 后点回到起点，波从头再来：周期是 $2\pi$ 。

1
正弦和余弦就是坐标
以原点为圆心画半径为 $1$ 的圆。从 $x$ 轴正方向转过角 $\theta$ 作一条射线，它与圆交于一点 $P$ 。按定义
$P=(\cos\theta,\ \sin\theta)$
这对任意角都成立，不只是直角三角形里的锐角，所以出了第一象限以后，用的都是单位圆定义。
2
把高度展开
把 $P$ 的高度画在"已经转过的角度"上方。每转一整圈，高度就重复一次，所以图像每隔 $2\pi$ 重复：这就是正弦波。最大值 $1$ 、最小值 $-1$ ，正是圆的半径。
角度用弧度度量：角 $\theta$ 在单位圆上截出的弧长恰好是 $\theta$ ，所以波的横轴就是点在圆上走过的路程。
3
要记住的特殊角
$\begin{array}{c|ccccc}\theta & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2}\\\hline \sin\theta & 0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt3}{2} & 1\\ \cos\theta & 1 & \frac{\sqrt3}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \frac12 & 0\end{array}$
正弦在增大，余弦在减小，而且余弦这一行正好是正弦倒过来读，因为 $\cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ 。
4
平方关系
蓝色线段、红色线段和半径围成一个斜边为 $1$ 的直角三角形。由勾股定理，对任意角都有
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

Q01

$\sin\frac{5\pi}{6}$ 等于多少？

Q02

$y=\sin x$ 的周期是？

Q03

若 $\sin\theta=0.6$ 且 $\theta$ 为锐角， $\cos\theta$ 是多少？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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