圆锥曲线与离心率

离心率 · Eccentricity

为什么一个数就能让圆变成椭圆、抛物线和双曲线？

每一条圆锥曲线，都是"到焦点的距离等于到准线距离的 e 倍"的点的集合。把 e 从 0 拖到 2，看曲线在 e = 1 处换了一个家族。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

e

椭圆

抛物线

双曲线

0.60

\theta_P

2.00

|PF| = e \cdot |PD|

封闭曲线是：椭圆

跟着走一遍

1e = 0：圆
$e=0$ 时准线在无穷远处，每个点到焦点 $F$ 的距离都是 $2$ ，曲线是一个圆。
20 < e < 1：椭圆
$e=0.5$ 时，每个点到 $F$ 的距离都是到绿色准线距离的一半。看读数：无论 $P$ 在哪里， $|PF|/|PD|=0.5$ 。圆被拉成了一个封闭的椭圆。
3e = 1：抛物线
$e=1$ 时两个距离相等。椭圆的远端跑到了无穷远，曲线张开了： $y^2=4(x+1)$ 。
4e > 1：双曲线
$e=1.5$ 时，点到 $F$ 的距离比到准线的远，曲线分成两支。拖动 $\theta_P$ ，两支上的比值都保持 $1.5$ 。

1
一个定义统一三种曲线
取定一点 $F$ （焦点）、一条直线 $D$ （准线）和一个数 $e\ge0$ （离心率）。圆锥曲线就是满足下式的所有点 $P$ ：
$|PF| = e\cdot|PD|$
- $e<1$ ：椭圆（圆是 $e=0$ 的极限情形）
- $e=1$ ：抛物线
- $e>1$ ：双曲线
2
画板背后的极坐标方程
把焦点放在原点、准线放在 $x=-\frac{\ell}{e}$ ，定义就变成
$r=\frac{\ell}{1-e\cos\theta}$
其中 $\ell$ 是半通径（这里 $\ell=2$ ）。当 $e\ge1$ 时分母可以等于 $0$ ，那正是曲线跑向无穷远的方向。
3
标准方程里的离心率
对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （ $a>b$ ），焦点在 $(\pm c,0)$ ， $c^2=a^2-b^2$ ， $e=\frac{c}{a}<1$ 。对双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ， $c^2=a^2+b^2$ ， $e=\frac{c}{a}>1$ 。对抛物线 $y^2=2px$ ， $e=1$ 。
$e$ 越接近 $0$ ，椭圆越圆；越接近 $1$ ，越扁。
4
为什么叫"圆锥曲线"
用平面去截一个双圆锥。斜着截过一叶得到椭圆，平行于母线截得到抛物线，陡峭地截过两叶得到双曲线。平面相对圆锥的倾斜程度决定了 $e$ ，所以两种定义得到的是同样三种曲线。
焦点还解释了它们的光学性质：抛物面天线把平行射入的光汇聚到焦点，从椭圆一个焦点发出的光反射后经过另一个焦点。

Q01

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 的离心率是？

Q02

抛物线上的点 $P$ ， $|PF|$ 与它到准线的距离相比如何？

Q03

一条圆锥曲线的离心率是 $\sqrt2$ ，它是哪种曲线？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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