椭圆：到两个焦点的距离之和为定值

椭圆的定义 · Ellipse

为什么用一根绳子绕两颗钉子就能画出椭圆？b² = a² − c² 又是从哪里来的？

拖动曲线上的点，看 |PF₁| + |PF₂| 始终等于 2a。把两个焦点合拢得到圆，拉开则椭圆变扁，再从短轴端点处的直角三角形读出 b² = a² − c²。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

a

4.0

c

圆

2.4

\theta_P

1.20

|PF_1| + |PF_2| = 2a

2a > 2c成立：是椭圆

跟着走一遍

1一根长 2a 的绳子
把一根长 $2a=8$ 的绳子两端钉在相距 $2c=4.8$ 的 $F_1$ 、 $F_2$ 上，用笔尖在 $P$ 处把绳子拉紧。此时 $|PF_1|=4.713$ ， $|PF_2|=3.287$ ，加起来正好是 $8$ 。把 $P$ 拖到曲线上任何位置，这个和都不变。
2b 来自一个直角三角形
把 $P$ 拖到曲线最高点。由对称性，绳子被平分： $|PF_1|=|PF_2|=a=4$ 。高度 $b$ 、焦距的一半 $c=2.4$ 和半根绳长 $a$ 构成直角三角形，所以 $b^2=a^2-c^2$ ， $b=3.2$ 。
3焦点重合：圆
把 $c$ 调到 $0$ 。两颗钉子重合，每个点到中心的距离都是 $a=4$ ，椭圆变成了圆： $b=a$ ， $e=\frac{c}{a}=0$ 。
4焦点拉开：椭圆变扁
$c=3.8$ 时，绳子几乎全用来跨越两个焦点： $b=1.249$ ， $e=0.95$ 。把 $c$ 推到等于 $a$ ，曲线就压成线段 $F_1F_2$ ；再大，绳子就短得绕不过去了。

1
定义
平面内到两个定点 $F_1$ 、 $F_2$ （焦点）的距离之和等于常数 $2a$ （ $2a>|F_1F_2|=2c$ ）的点的集合叫椭圆。
- $2a=2c$ ：点的轨迹是线段 $F_1F_2$ 。
- $2a<2c$ ：没有点满足条件，因为由三角形两边之和大于第三边， $|PF_1|+|PF_2|\ge|F_1F_2|$ 。
2
从定义推出方程
取 $F_1=(-c,0)$ 、 $F_2=(c,0)$ ，把定义写成式子：
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$
把一个根式移到右边再平方，整理得 $a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 。再平方并合并： $(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$ 。记 $b^2=a^2-c^2>0$ ，两边同除以 $a^2b^2$ ：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>b>0)$
3
a、b、c 各是什么
- $a$ ：绳长的一半，也是长半轴，因为在顶点 $A_2$ 处两段绳长分别是 $a+c$ 和 $a-c$ 。
- $b$ ：短半轴，即最高点的高度。
- $c$ ：两焦点间距离的一半。
$a^2=b^2+c^2$ 的全部理由就是画板上那个阴影三角形：在最高点，每半根绳子都是长为 $a$ 的斜边。
4
离心率刻画扁平程度
$e=\dfrac{c}{a}$ 介于 $0$ 和 $1$ 之间，表示半根绳子里有多少用来跨越焦点：接近 $0$ 时椭圆很圆，接近 $1$ 时又长又扁，因为 $\dfrac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}$ 。"离心率"一章会从焦点和准线的角度得到同一个 $e$ 。

Q01

椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上任意一点 $P$ 满足 $|PF_1|+|PF_2|=$ ？

Q02

椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 的焦点坐标是？

Q03

若 $|F_1F_2|=6$ ，满足 $|PF_1|+|PF_2|=6$ 的点 $P$ 的轨迹是？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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