抛物线：到焦点与到准线的距离相等

抛物线与焦点弦 · Parabola

为什么抛物线 y² = 2px 的焦半径就是 x + p/2？过焦点的弦有多长？

让点沿 y² = 2px 移动，比较它到焦点和到准线的距离：两者始终相等。再转动一条过焦点的弦，看它的长度为什么是 x₁ + x₂ + p = 2p / sin²α，竖直时最短。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

高中
焦点与准线
标准方程 y² = 2px
焦半径
焦点弦与通径

p

2.0

y_P

2.0

\alpha\,(^\circ)

通径

|PF| = |PD| = x + \tfrac{p}{2}

$|PF|$: 2.000
$|PD| = x_P + \tfrac{p}{2}$: 2.000
$|AF|$: 4.000
$|BF|$: 1.333
$|AB|$: 5.333
$\dfrac{2p}{\sin^2\alpha}$: 5.333
$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|}$: 1.000

跟着走一遍

1到 F 和到直线一样远
$p=2$ 时焦点是 $F=(1,0)$ ，准线是 $x=-1$ 。在 $P=(1,2)$ 处： $|PF|=2$ ，到准线的距离 $|PD|=2$ 。抛物线的定义就是这一句"相等"。
2焦半径直接看横坐标
把 $P$ 拖到 $y_P=4$ ，此时 $x_P=4$ 。直接算 $|PF|=\sqrt{(4-1)^2+4^2}=5$ 要开方，而 $|PD|=x_P+\frac{p}{2}=4+1=5$ 不用。把一种距离换成另一种，是处理抛物线的头号技巧。
3过焦点的弦
$\alpha=60^\circ$ 时，琥珀色的弦与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 。每条焦半径都等于各自到准线的距离，所以 $|AB|=x_A+x_B+p$ 。这里 $|AF|=4$ ， $|BF|=1.333$ ， $|AB|=5.333$ ，正好等于 $\frac{2p}{\sin^2\alpha}=\frac{4}{3/4}$ 。
4竖直时最短：通径
$\alpha=90^\circ$ 时这条弦叫通径： $|AF|=|BF|=p=2$ ， $|AB|=2p=4$ ，因为 $\sin^2\alpha\le1$ ，它是所有焦点弦里最短的。转到 $30^\circ$ 时长度增到 $16$ 。整个过程中 $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$ 始终等于 $\frac{2}{p}=1$ 。

讲解

1
定义与方程
平面内到一个定点 $F$ （焦点）和一条不过 $F$ 的定直线 $l$ （准线）距离相等的点的集合叫抛物线。设 $F$ 到 $l$ 的距离为 $p$ ，取 $F=\left(\frac p2,0\right)$ ， $l:\ x=-\frac p2$ ，则
$\sqrt{\left(x-\tfrac p2\right)^2+y^2}=x+\tfrac p2$
两边平方， $x^2$ 和 $\frac{p^2}{4}$ 两项消掉，得到
$y^2=2px\qquad(p>0)$
2
焦半径公式
对 $y^2=2px$ 上的点 $P(x_0,y_0)$ ：
$|PF|=x_0+\frac p2$
这不是新结论，只是把定义反过来用：把到焦点的距离换成到准线的距离，而后者只是一段水平长度。
3
焦点弦长
把两条焦半径相加： $|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+p$ 。
要用倾斜角表示，把弦写成 $x=\frac p2+s\cos\alpha$ ， $y=s\sin\alpha$ 代入方程： $s^2\sin^2\alpha-2ps\cos\alpha-p^2=0$ ，两根是 $s=\dfrac{p}{1-\cos\alpha}$ 和 $s=-\dfrac{p}{1+\cos\alpha}$ 。于是
$|AB|=\frac{p}{1-\cos\alpha}+\frac{p}{1+\cos\alpha}=\frac{2p}{\sin^2\alpha}$
并且对任何方向都有 $\dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|}=\dfrac{(1-\cos\alpha)+(1+\cos\alpha)}{p}=\dfrac2p$ 。
4
为什么天线锅是抛物面
因为 $|PF|=|PD|$ ，三角形 $PFD$ 是等腰三角形，过 $P$ 平分 $\angle FPD$ 的直线就是 $FD$ 的垂直平分线。这条直线上的其他点 $Q$ 到 $F$ 、 $D$ 的距离也相等，但 $Q$ 到 $D$ 的距离大于它到准线的距离，所以 $Q$ 在抛物线外部：这条线只在 $P$ 处碰到曲线，它就是切线。于是切线平分 $PF$ 与过 $P$ 的水平线所成的角。因此，平行于对称轴射入的光线反射后都经过焦点，而焦点处的光源发出的光反射后成为平行光束。卫星天线、车灯和太阳灶都用到了这一点。

随堂检测

Q01

抛物线 $y^2=8x$ 上一点 $P$ 的横坐标为 $3$ ，则 $|PF|=$ ？

Q02

过抛物线 $y^2=4x$ 焦点的弦 $AB$ 满足 $x_1+x_2=6$ ，则 $|AB|=$ ？

Q03

抛物线 $y^2=2px$ 所有过焦点的弦中，最短的长度是？

继续探索

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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