双曲线：距离之差为定值，以及它的渐近线

双曲线与渐近线 · Hyperbola

双曲线上什么量保持不变？它的两支为什么越来越贴近直线 y = ±(b/a)x，却永远碰不到？

让点沿右支移动：|PF₁| − |PF₂| 始终等于 2a，而它与渐近线的距离越来越接近 0。顶点为 (±a, ±b) 的虚线矩形，两条对角线就是渐近线，半条对角线的长就是 c。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

高中
双曲线的定义
标准方程
c² = a² + b²
渐近线
离心率 e = c/a

a

2.0

b

1.5

y_P

3.0

\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a

$|PF_1|$: 7.590
$|PF_2|$: 3.590
$|PF_1| - |PF_2|$: 4.000
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$: 2.500
$e = c / a$: 1.250
$\pm\dfrac{b}{a}$: 0.750
$\text{到渐近线的竖直距离}$: 0.354

跟着走一遍

1距离之差是 2a
$a=2$ 、 $b=1.5$ 时，焦点在 $(\pm2.5,0)$ 。在 $y_P=1.5$ 的点 $P$ 处： $|PF_1|=5.536$ ， $|PF_2|=1.536$ ，所以 $|PF_1|-|PF_2|=4=2a$ 。沿右支拖动 $P$ ，差值始终不变；在左支上是 $|PF_2|-|PF_1|=2a$ 。
2越来越贴近渐近线
红色线段是 $P$ 与直线 $y=\frac{b}{a}x$ 之间的竖直距离。 $y_P=1.5$ 时是 $0.621$ ；把 $P$ 拖到 $y_P=5$ ，缩小到 $0.220$ 。它会一直向 $0$ 靠近，但永远到不了 $0$ 。
3矩形里藏着 a、b、c
把 $P$ 放到顶点 $(2,0)$ ： $|PF_1|=4.5$ ， $|PF_2|=0.5$ 。虚线矩形的顶点是 $(\pm2,\pm1.5)$ ，两条对角线就是渐近线，斜率 $\pm0.75$ ；半条对角线长 $c=\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5$ ，过矩形顶点、半径为 $c$ 的圆正好经过两个焦点。所以 $e=\frac{c}{a}=1.25$ 。
4a = b：等轴双曲线
把 $b$ 也设为 $2$ 。矩形变成正方形，渐近线 $y=\pm x$ 互相垂直， $e=\sqrt2\approx1.414$ 。继续增大 $b$ ，两支张得更开， $e$ 也随之变大。

讲解

1
定义与方程
平面内到两个焦点 $F_1$ 、 $F_2$ 的距离之差的绝对值为常数的点的集合叫双曲线： $\big||PF_1|-|PF_2|\big|=2a$ ，且 $0<2a<|F_1F_2|=2c$ 。（由三角形两边之差小于第三边，这个差不可能超过 $2c$ 。）
取 $F_1=(-c,0)$ 、 $F_2=(c,0)$ ，与椭圆一样平方两次，得到 $(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$ 。这次 $c>a$ ，记 $b^2=c^2-a^2$ ：
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>0,\ b>0)$
2
与椭圆对照
- 椭圆：距离之和为 $2a$ ，所以 $2a>2c$ ， $a^2=b^2+c^2$ ， $a$ 最大。
- 双曲线：距离之差为 $2a$ ，所以 $2a<2c$ ， $c^2=a^2+b^2$ ， $c$ 最大。
定义里一个"和"换成"差"，方程里就换了一个符号，也决定了三者中谁是斜边。
3
渐近线为什么是 y = ±(b/a)x
解出右支上半部分： $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ 。它在直线 $y=\frac bax$ 下方的竖直距离是
$\frac ba\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)=\frac ba\cdot\frac{a^2}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{ab}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$
这个距离恒为正，所以曲线永远碰不到直线； $x$ 越大它越趋于 $0$ 。速记方法：把方程右边的 $1$ 换成 $0$ ， $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ 分解开就是这两条直线。
4
离心率与开口大小
$e=\dfrac ca>1$ ，且 $\dfrac ba=\sqrt{e^2-1}$ 。 $e$ 越大，渐近线越陡，两支开口越大。 $e=\sqrt2$ 时 $a=b$ ，渐近线互相垂直，这就是等轴双曲线，把它旋转 $45^\circ$ 就是熟悉的 $y=\frac kx$ 。

随堂检测

Q01

双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 的渐近线方程是？

Q02

双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 的 $c$ 与 $e$ 分别是？

Q03

点 $P$ 在双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 的右支上， $|PF_1|=10$ ，则 $|PF_2|=$ ？

继续探索

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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