双曲线
圆锥曲线到两焦点距离之差恒定的双支圆锥曲线,永远贴近它的渐近线。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是双曲线？
双曲线是离心率大于 1 的圆锥曲线:到两焦点距离之差恒为 2a 的点的集合。与椭圆不同,它分成两支;与其他圆锥曲线不同,它自带一对参考线——渐近线 y = ±(b/a)x,曲线无限逼近却永不触碰。
"距离差恒定"正是信号到达时间差所测量的量,因此在 GPS 之前,双曲线是 LORAN 无线电导航的数学基础。同一条曲线还以多种面目出现:y = 1/x 是旋转后的等轴双曲线,日晷针尖影子一天扫过的轨迹是双曲线,电厂冷却塔的侧影也是双曲线。
关键性质
- 焦点位于 (±c, 0),其中 c² = a² + b²;离心率 e = c/a > 1。
- 到两焦点距离之差恒定:|r₁ − r₂| = 2a。
- 渐近线为 y = ±(b/a)x;a = b 时为等轴双曲线(y = 1/x 旋转 45°)。
- 反射性质:射向一个焦点的光线反射后指向另一个焦点。
- 共轭双曲线交换两条轴的角色。
它出现在哪里
无线电导航(LORAN)、冷却塔轮廓、日晷影子轨迹、引力弹弓轨道,以及反比例函数 y = 1/x。