伯努利双纽线的方程是什么？

极坐标方程：r^2 = a^2 cos 2θ；直角坐标方程：(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)。a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。

伯努利双纽线的周长是多少？

周长：L = 2ϖ a ≈ 5.2441 a。a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。

伯努利双纽线的面积是多少？

面积（两个环合计）：A = a^2。a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。

极坐标曲线

伯努利双纽线Lemniscate of Bernoulli

8 字形曲线 r² = a²·cos 2θ：到两个焦点距离之积为常数的点的轨迹。

调节参数

a（大小）1

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公式与关键数值

极坐标方程: $r^2 = a^2\cos 2\theta$
直角坐标方程: $(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)$
周长图中 ≈ 5.244: $L = 2\varpi a \approx 5.2441\,a$
面积 · 两个环合计图中 = 1: $A = a^2$
焦点: $\left(\pm\frac{a}{\sqrt{2}},\ 0\right)$

a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。

讲解视频

把伯努利双纽线做成讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

开始制作

01 · 定义

什么是伯努利双纽线？

伯努利双纽线是到两个焦点距离之积为常数的点的轨迹——椭圆固定"距离之和"，它固定"距离之积"。雅各布·伯努利在 1694 年描述了它，名字来自拉丁语 lemniscus（垂下的缎带）。极坐标形式 r² = a²·cos 2θ 解释了曲线为何只存在于 cos 2θ ≥ 0 的角度范围：两片对称的叶在原点相交。

这条曲线远不止是漂亮的 8 字：为计算其弧长，Fagnano 与 Euler 引出了双纽线积分，成为椭圆函数理论的直接源头。

02 · 性质

关键性质

两叶合计围成的面积恰为 a²。
焦点位于 (±a/√2, 0)，距离之积等于 a²/2。
原点是自交点，两条切线为 y = ±x。
它是等轴双曲线关于中心的反演像。
弧长涉及双纽线常数 ϖ ≈ 2.6221，需用椭圆积分计算。

03 · 问答

关于伯努利双纽线的常见问题

伯努利双纽线的方程是什么？: 极坐标方程：r^{^2} = a^{^2} cos 2θ；直角坐标方程：(x^{^2} + y^{^2})^{^2} = a^{^2}(x^{^2} - y^{^2})。a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。
伯努利双纽线的周长是多少？: 周长：L = 2ϖ a ≈ 5.2441 a。a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。
伯努利双纽线的面积是多少？: 面积（两个环合计）：A = a^{^2}。a 是中心到两端的距离；ϖ ≈ 2.6221 是双纽线常数。

04 · 继续探索

全部曲线 · 60 条