伯努利双纽线
极坐标曲线8 字形曲线 r² = a²·cos 2θ:到两个焦点距离之积为常数的点的轨迹。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是伯努利双纽线？
伯努利双纽线是到两个焦点距离之积为常数的点的轨迹——椭圆固定"距离之和",它固定"距离之积"。雅各布·伯努利在 1694 年描述了它,名字来自拉丁语 lemniscus(垂下的缎带)。极坐标形式 r² = a²·cos 2θ 解释了曲线为何只存在于 cos 2θ ≥ 0 的角度范围:两片对称的叶在原点相交。
这条曲线远不止是漂亮的 8 字:为计算其弧长,Fagnano 与 Euler 引出了双纽线积分,成为椭圆函数理论的直接源头。
关键性质
- 两叶合计围成的面积恰为 a²。
- 焦点位于 (±a/√2, 0),距离之积等于 a²/2。
- 原点是自交点,两条切线为 y = ±x。
- 它是等轴双曲线关于中心的反演像。
- 弧长涉及双纽线常数 ϖ ≈ 2.6221,需用椭圆积分计算。
它出现在哪里
无穷符号 ∞ 的原型、模拟信号星座图,以及从弧长问题通往椭圆函数的历史路径。