玫瑰线Rose Curve
极坐标曲线 r = a·cos(kθ)，k 为奇数时开出 k 片花瓣，偶数时开出 2k 片。
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公式与关键数值
- 极坐标方程
- 花瓣数 · k 为奇数
- 花瓣数 · k 为偶数
- 面积 · k 为奇数
- 面积 · k 为偶数
a 是花瓣长度（图中 a = 1），k 决定花瓣数。
01 · 定义
什么是玫瑰线？
玫瑰线（又称 rhodonea）是极坐标方程 r = a·cos(kθ) 的图像。当 θ 绕原点扫过一周，半径在 a 与 −a 之间振荡，把圆折叠成等间距的花瓣。它由意大利数学家 Guido Grandi 在 18 世纪 20 年代命名并系统研究。
花瓣数量遵循一条简单的奇偶规则：k 为奇数时，曲线只需半圈就闭合，共 k 片花瓣；k 为偶数时需要整整一圈，共 2k 片。把 k 从 4 拨到 5、看着花瓣数量跳变，是理解极坐标对称性最直观的方式之一。
02 · 性质
关键性质
- k 为奇数 → θ ∈ [0, π) 内画出 k 片花瓣；k 为偶数 → 一整圈画出 2k 片。
- 每片花瓣张角为 π/k，最大半径为 a。
- 总面积：k 为奇数时为 πa²/4，k 为偶数时为 πa²/2。
- 把 cos(kθ) 换成 sin(kθ)，整朵玫瑰旋转 π/(2k)。
- k 不是整数时，花瓣互相重叠，曲线可能永不闭合。
03 · 问答
关于玫瑰线的常见问题
- 玫瑰线的方程是什么？
- 极坐标方程：r = a cos(kθ)。a 是花瓣长度（图中 a = 1），k 决定花瓣数。
- 玫瑰线的面积是多少？
- 面积（k 为奇数）：A = (π a^2)/4；面积（k 为偶数）：A = (π a^2)/2。a 是花瓣长度（图中 a = 1），k 决定花瓣数。
04 · 继续探索