蚶线
极坐标曲线曲线族 r = b + a·cos θ:随 b 增大,从带内环的蜗形经过心脏线,一路变形到凸卵形。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是蚶线？
蚶线(limaçon,法语"蜗牛")是极坐标曲线族 r = b + a·cos θ,17 世纪初由 Étienne Pascal(布莱兹·帕斯卡的父亲)研究。几何上,它是刚性固定在滚动圆上的一点画出的轨迹——滚动圆绕等大的定圆转动,而该点不必在圆周上。
一个滑杆讲完整个故事。取 a = 1:b < 1 时半径出现负值,曲线自交形成内环;b = 1 时内环收缩为心脏线的尖点;1 < b < 2 时是带凹陷的形状;b ≥ 2 后变成凸卵形。它是"一个常数如何重塑极坐标图像"的标准示例。
关键性质
- b < a:出现内环(半径变号);b = a:退化为心脏线。
- a < b < 2a:带凹陷的蚶线;b ≥ 2a:凸形。
- b ≥ a 时围成面积为 π(b² + a²/2)。
- 它是圆关于圆周上一点的蚌线(conchoid)。
- 内环情形是"内外环之间面积"积分的经典练习题。
它出现在哪里
极坐标课程、指向性麦克风拾音图(次心形与超心形都是蚶线),以及转子发动机几何。