利萨如曲线
参数曲线两个相互垂直的振动 x = sin(at + δ)、y = sin(bt) 合成的图形——示波器上的招牌图案。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是利萨如曲线？
把一路正弦信号接到 x 轴、另一路接到 y 轴,光点画出的就是利萨如曲线。Bowditch 在 1815 年用摆最早画出它;1857 年,Lissajous 把光反射到装在两支音叉上的镜子上,用光学方法生成图形,让看不见的频率之比变成看得见的几何。
这条曲线是一台"肉眼频率计":只有当 a : b 为有理数时才闭合,数一数图形贴着两条边的瓣数,就能读出频率比。相位差 δ 决定图形的姿态——当 a = b 时,它从对角直线经一系列椭圆演变为圆。模拟时代的工程师正是靠示波器上的利萨如图形来校准信号频率。
关键性质
- 曲线闭合 ⟺ 频率比 a : b 为有理数。
- 沿两条边的瓣数之比为 b : a。
- a = b 时:δ = 0 是直线,随 δ 变为椭圆,δ = π/2 且等幅时是圆。
- 曲线始终内切于正方形 [−1, 1] × [−1, 1]。
- 3 : 1 的利萨如图形是澳大利亚广播公司(ABC)的台标。
它出现在哪里
示波器相位测量、激光表演、谐振记录仪,以及广播机构的台标。