会动的数学现象
看见数学最神奇的那一刻
11 个专题
一串旋转的圆，为什么能画出任何曲线？
任何周期运动都能拆成一串匀速旋转的圆；圆越多越准，但拐角处约 9% 的尖角永远不会消失。
一条 z² + c，为什么能长出无穷无尽的细节？
规则只有一行，结果却有无限的复杂度：边界上处处是新的结构，还到处藏着整体的缩小副本。
方程完全确定，为什么结果却无法预测？
混沌不是随机：每一步都由方程精确决定，但起点上再小的误差都会被指数放大，所以只能预测形状，预测不了位置。
向日葵为什么偏爱 137.5° 这个角度？
黄金角是"最无理"的角度，最难被分数逼近，所以种子永远不会排成辐线，空间用得最充分；螺旋数是斐波那契数，也来自同一个原因。
15 个互不相连的单摆，为何时而成蛇、时而成排？
每个摆都只在做最简单的周期运动，所有图案都来自相邻两摆的相位差随时间均匀增长：走到周期的 p/q，就分成 q 组；后半程倒着重演，是因为太密的波被 15 个点看成了一条慢波，这叫混叠。
把质数画在极坐标上，为什么会出现螺旋和射线？
螺旋属于整数，不属于质数：6、44、710 弧度都几乎是整圈（44/7 和 710/113 是 2π 最好的分数逼近）。质数只是避开和这些数有公因数的臂，再在剩下的臂上平分（狄利克雷定理）。
用牛顿法解 z³ = 1，为什么会画出分形？
在导数为 0 的地方附近，切线几乎是平的，一步就能把起点甩到任何地方，所以相邻的起点会奔向不同的根。结果是：边界上任何一点，三种颜色都同时紧挨着它，放大多少倍都一样。
小球左右乱撞，为什么总堆成一座钟形的山？
一颗球落在哪一格，只取决于它向右拐了几次；拐 k 次的路径有"组合数"那么多条，中间多、两边少。许多独立的小偏差加在一起，结果总是接近正态分布，这就是中心极限定理。
往画着平行线的地板上随手扔针，为什么能算出 π？
针的平均压线次数只和长度成正比，与形状无关；直径等于线距的圆环每次恰好压线 2 次，周长却是 π 倍直径，所以比例里出现了 π。随机实验能估出 π，但误差只按 1/√N 缩小：多准一位，要多扔 100 倍。
偶数除以 2，奇数乘 3 加 1，为什么最后总会掉到 1？
每乘一次 3，平均会接着除以 2 两次，净效果约乘 3/4，所以数"通常"会变小；但"通常"不是"一定"。已经验证到 2⁶⁸ 都成立，2019 年陶哲轩证明了"几乎所有"数都会降到很小，完整的证明仍然没有。
两行公式、四个数，为什么能画出这样的图？
每一步都完全确定，点却永远不重复、也不会跑远，在一个有分形细节的形状上无穷无尽地游走：这就是奇异吸引子。李雅普诺夫指数大于 0 是混沌，小于 0 时轨道会落进少数几个点的循环。
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实验室按函数、圆锥曲线、几何、概率、运动和波等章节编排，每章有可拖动的画板、引导和随堂检测。