摆波：15 个单摆为什么会排出蛇形和整齐的队列

讲解

每个摆都只在做最简单的周期运动，所有图案都来自相邻两摆的相位差随时间均匀增长：走到周期的 p/q，就分成 q 组；后半程倒着重演，是因为太密的波被 15 个点看成了一条慢波，这叫混叠。

01长度决定节奏

摆角很小时，单摆的周期只和摆长 $L$ 有关：

T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

要让第 $k$ 个摆（从 0 数起）每 60 秒正好摆 $51+k$ 次，它的频率是 $f_k=\frac{51+k}{60}$ 赫兹，摆长反过来算：

L_k=\frac{g}{(2\pi f_k)^2}

最长的约 34.4 厘米，最短的约 21.2 厘米。15 根绳子的长度一旦定好，后面所有图案就都定了，没有任何一个摆"知道"别的摆在做什么。

所有摆从同一边同时放手，第 $k$ 个摆的水平位置是

x_k(t)=A\cos\left(2\pi\,\frac{51+k}{60}\,t\right)

相邻两个摆的相位差对每一对都一样：

\Delta(t)=2\pi\,\frac{t}{60}

也就是每秒 6°。第 $k$ 个摆比第一个领先 $k\Delta$ ，所以任何时刻，15 个摆的位置都是同一条余弦波 $A\cos(\varphi_0+s\Delta)$ 在 $s=0,1,\dots,14$ 这 15 个点上的取值。画板上的颜色就是这个相对相位：同色的摆步调一致。

在 $t=\frac{p}{q}\times60$ 秒（ $\frac{p}{q}$ 是最简分数），第 $k$ 个摆的相对相位是

k\Delta=2\pi\,\frac{kp}{q}

它只取决于 $k$ 除以 $q$ 的余数，所以摆分成 $q$ 组，组内完全同步：15 秒（ $\frac14$ ）4 组，20 秒（ $\frac13$ ）3 组，30 秒（ $\frac12$ ）2 组，12 秒（ $\frac15$ ）5 组。

到第 60 秒，第 $k$ 个摆正好摆完 $51+k$ 次，全部回到起点，图案从头再来。

对整数 $k$ ，相位差加减一整圈看不出区别：

\cos(\varphi_0+k\Delta)=\cos\big(\varphi_0+k(\Delta-2\pi)\big)

第 55 秒， $\Delta=330^\circ$ ，和 $-30^\circ$ 落在同样的 15 个点上。眼睛把点连成最平缓的那条波，于是看到一条落后 30°、往回游的慢蛇，而真正的波密得多。

所以 $60-t$ 秒的图案正是 $t$ 秒的倒放： $\Delta(60-t)=360^\circ-\Delta(t)$ ，等同于 $-\Delta(t)$ 。

这就是取样定理说的事：每个波长至少要有两个取样点（ $|\Delta|\le180^\circ$ ）才能看对。电影里车轮倒转、手机拍屏幕出现的条纹，都是同一种混叠。

能自己做一个吗？

可以。按上面的公式算出每根摆长（从悬点量到摆球中心），用同样重的小球，放手时用一块板把所有球推到同一位置。摆角保持小一些，图案能维持好几个周期；空气阻力会让摆幅慢慢变小，但几乎不改变节奏。

为什么摆角要小？

周期公式只在小摆角时准确。摆角 20° 时，周期大约长 0.8%，51 次摆动下来就差出约 0.4 次，图案会糊掉。画板上的动画按小摆角公式计算。

这和正弦波有什么关系？

每个摆单独看就是一条正弦曲线随时间的变化；整排摆在某一刻的位置，是一条余弦波在 15 个点上的取样。所谓"蛇形"，就是这条波的形状。