斜面上的受力分析：把重力分解到沿斜面和垂直斜面

斜面受力分解 · Forces on a slope

斜面陡到多少，物块会开始下滑？滑下去时加速度是多少？

调斜面倾角、质量和动摩擦因数。重力分解成沿斜面的 mg sin θ 和垂直斜面的 mg cos θ；tan θ 超过 μ 之前静摩擦把物块拉住，之后 a = g(sin θ − μ cos θ)。

\theta\,(^\circ)

m

2.0

\mu

0.50

a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)

物块静止

跟着走一遍

1缓坡上，物块不动
$2\,\text{kg}$ 的物块放在 $20^\circ$ 的斜面上， $\mu=0.5$ 。重力 $19.6\,\text{N}$ 分解为沿斜面向下的 $mg\sin20^\circ\approx6.70\,\text{N}$ 和压向斜面的 $mg\cos20^\circ\approx18.42\,\text{N}$ 。摩擦力最多能提供 $\mu N\approx9.21\,\text{N}$ ，现在只需要 $6.70\,\text{N}$ ，物块静止。
2刚好滑动的角度
把斜面调陡。下滑分力 $mg\sin\theta$ 变大，最大静摩擦 $\mu mg\cos\theta$ 变小，两者在 $\tan\theta=\mu$ 处相等，约为 $26.6^\circ$ 。到 $27^\circ$ 时物块刚开始下滑， $a\approx0.08\,\text{m/s}^2$ 。
340° 时加速下滑
到 $40^\circ$ 时摩擦力是滑动摩擦 $\mu mg\cos\theta$ ，沿斜面的合力给出 $a=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)\approx2.55\,\text{m/s}^2$ 。
4质量被约掉了
把物块换成 $8\,\text{kg}$ ，重 4 倍。每个力都变成 4 倍（下滑分力变为 $50.39\,\text{N}$ ），被推动的质量也变成 4 倍，加速度仍是 $2.55\,\text{m/s}^2$ 。

1
沿斜面分解重力
在斜面上，好用的方向是沿斜面和垂直斜面，而不是水平和竖直。重力 $mg$ 与斜面法线的夹角正好是 $\theta$ ，所以分解为
$G_\parallel=mg\sin\theta,\qquad G_\perp=mg\cos\theta$
斜面用支持力 $N=mg\cos\theta$ 抵消 $G_\perp$ ，只剩 $G_\parallel$ 能让物块运动。
2
静摩擦"要多少给多少"
静摩擦力不等于 $\mu N$ 。它跟下滑分力一样大，直到上限（约为 $\mu N$ ）为止。只要 $mg\sin\theta\le\mu mg\cos\theta$ ，物块就静止，也就是
$\tan\theta\le\mu$
这个临界角与质量无关，实验室里测 $\mu$ 就是这么做的：慢慢抬高木板，直到物块刚好滑动。
3
滑动之后
滑动摩擦力为 $\mu N=\mu mg\cos\theta$ ，方向沿斜面向上。沿斜面列牛顿第二定律：
$a=\frac{mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta}{m}=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)$
质量约掉了。光滑斜面（ $\mu=0$ ）上就是 $a=g\sin\theta$ 。

Q01

物块沿光滑的 $30^\circ$ 斜面下滑，加速度为（ $g=9.8\,\text{m/s}^2$ ）

Q02

$2\,\text{kg}$ 的物块静止在 $30^\circ$ 斜面上， $\mu=0.8$ 。它受到的摩擦力是

Q03

物块沿粗糙斜面下滑。若质量加倍，加速度

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