弹簧振子：简谐运动与周期公式

弹簧振子 · Mass on a spring

弹簧振子振动快慢由什么决定？为什么拉得更远，周期却不变？

调劲度系数、质量和振幅，看振子在旁边的 x-t 图上画出一条余弦曲线。周期 T = 2π√(m/k) 只取决于 k 和 m，与拉开多远无关。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

k

m

2.0

A

1.5

t

0.60

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

振子偏离平衡位置

跟着走一遍

1振动一次用时 π 秒
质量 $2\,\text{kg}$ 的振子挂在 $k=8\,\text{N/m}$ 的弹簧上： $\omega=\sqrt{k/m}=2\,\text{rad/s}$ ，周期 $T=2\pi/\omega=\pi\approx3.14\,\text{s}$ 。点播放，看振子在右边画出 $x=A\cos\omega t$ 。
2弹簧硬 4 倍
把 $k$ 调到 $32\,\text{N/m}$ 。此时 $\omega=4\,\text{rad/s}$ ， $T\approx1.57\,\text{s}$ ：劲度系数变成 4 倍，周期减半，因为 $T\propto\dfrac{1}{\sqrt k}$ 。
3质量变成 4 倍
$k$ 回到 $8$ ，换上 $8\,\text{kg}$ 的振子。 $\omega=1\,\text{rad/s}$ ， $T=2\pi\approx6.28\,\text{s}$ ：质量越大越难掉头，周期翻倍。
4振幅不影响周期
回到 $k=8$ 、 $m=2$ ，把振幅减到 $0.5\,\text{m}$ 。周期仍是 $3.14\,\text{s}$ ，最大速度从 $A\omega=3\,\text{m/s}$ 降到 $1\,\text{m/s}$ ：路程短了，走得也慢了，用时一样。

1
总指向平衡位置的回复力
以平衡位置为原点量位移 $x$ 。弹簧被拉伸 $x$ 时，拉回来的力是
$F=-kx$
负号表示力总指向平衡位置，而且离得越远力越大。受这种力的运动就是简谐运动。竖直悬挂的弹簧，重力只是把平衡位置往下移了；从新的平衡位置量起，合力仍是 $-kx$ 。
2
周期公式
牛顿第二定律 $ma=-kx$ 要求加速度始终是位移的 $-\frac km$ 倍。试 $x=A\cos\omega t$ ：求两次导数得 $a=-\omega^2A\cos\omega t=-\omega^2x$ ，只要 $\omega^2=\frac km$ 就完全吻合。于是
$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac mk}$
式子里没有 $A$ ：拉得越远，回复力也按比例越大，更长的路程用同样的时间走完。所以弹簧可以用来计时。
3
读懂 x-t 图
在两端（ $x=\pm A$ ）振子瞬间停住，回复力和加速度 $a=-\omega^2x$ 最大；经过平衡位置（ $x=0$ ）时回复力为零，速度最大， $v_{\max}=A\omega$ 。在图上，速度就是曲线的陡峭程度：波峰处是平的，穿过横轴处最陡。

Q01

$0.5\,\text{kg}$ 的振子挂在 $k=200\,\text{N/m}$ 的弹簧上，周期约为

Q02

把同一个振子拉开到原来的 2 倍再释放，周期

Q03

振子在哪里速度最大？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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