单摆：周期由什么决定

单摆 · Simple pendulum

摆球更重、摆得更大，单摆会变慢吗？几乎只有摆长说了算。

调摆长、摆角和摆球质量。小角度下 T = 2π√(L/g)：摆长变为四分之一，周期减半，质量毫无影响。摆角越大，真实周期越比公式算出的长。

L

1.50

\theta_0\,(^\circ)

小角度

m

0.5

t

0.00

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

周期公式偏小

跟着走一遍

1一米长的单摆
$1\,\text{m}$ 长的单摆，摆角 $10^\circ$ ： $T=2\pi\sqrt{L/g}\approx2.01\,\text{s}$ 。点播放数一数，来回摆一次大约两秒。
2摆长变为四分之一
把摆线缩短到 $0.25\,\text{m}$ ，周期减半为 $1.00\,\text{s}$ ： $T$ 与 $\sqrt L$ 成正比，摆长变为四分之一，周期变为一半。
3摆角太大，周期变长
回到 $1\,\text{m}$ ，摆角加到 $60^\circ$ 。公式仍给出 $2.01\,\text{s}$ ，实际周期约 $2.15\,\text{s}$ ，长了约 $7\%$ 。 $T=2\pi\sqrt{L/g}$ 依赖 $\sin\theta\approx\theta$ ，只在小角度时成立。
4秒摆
令 $L=0.99\,\text{m}$ 、小摆角，摆球换成 4 倍重。周期是 $2.00\,\text{s}$ ，单程正好一秒；质量没有任何影响：摆球越重，受的回复力越大，但也越难推动，两者抵消。老式摆钟用的就是这个摆长。

1
回复力从哪里来
把重力分解到沿摆线和沿圆弧两个方向。沿摆线的分力被拉力抵消，沿圆弧的分力 $mg\sin\theta$ 把摆球拉回最低点。沿圆弧的位移是 $s=L\theta$ ，于是
$F=-mg\sin\theta\approx-mg\theta=-\frac{mg}{L}\,s$
$\theta$ 很小时它就是 $F=-ks$ 的形式，其中 $k=mg/L$ ：单摆的运动和弹簧振子一样。
2
周期公式
把 $k=mg/L$ 代入弹簧振子的周期 $T=2\pi\sqrt{m/k}$ ：
$T=2\pi\sqrt{\frac Lg}$
质量约掉了，振幅也没有出现。测出 $T$ 和 $L$ 就能算出 $g$ ，两百年来人们一直这样测重力加速度。
3
摆角不小时
因为 $\sin\theta<\theta$ ，真实的回复力比近似值小，所以摆角大时周期更长。修正项开头是
$T\approx2\pi\sqrt{\frac Lg}\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}+\cdots\right)$
摆角小于约 $10^\circ$ 时误差不到 $0.2\%$ ，所以课本要求摆角要小。

Q01

单摆周期为 $2\,\text{s}$ ，把摆长变为原来的 4 倍，新周期为

Q02

把同一个单摆带到月球上，那里的 $g$ 约为地球的 $\tfrac16$ 。周期

Q03

下列哪种改变会让单摆周期变长？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

VIEW · 显示设置