动能定理与能量守恒：滑下来的能量去哪了

动能定理与能量守恒 · Energy conservation

物块滑到底时速度多大？在粗糙地面上能滑多远？

让物块沿光滑曲面滑下，再滑过粗糙地面。能量条显示重力势能变成动能、再变成摩擦生热，总量始终不变：滑到底时 v = √(2gh)，在地面上滑行 h/μ 后停下。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

h

3.0

m

1.0

\mu

光滑

0.30

x

-3.00

mgh = \tfrac12 mv^2 + \mu mg\,s

物块运动中

跟着走一遍

1光滑曲面的半路上
$1\,\text{kg}$ 的物块从 $3\,\text{m}$ 高处由静止滑下，总能量 $E=mgh=29.4\,\text{J}$ 。滑到 $0.75\,\text{m}$ 高处时，还剩 $E_p=7.35\,\text{J}$ 的势能，另外 $22.05\,\text{J}$ 变成了动能， $v\approx6.64\,\text{m/s}$ 。
2滑到底端
到底端时 $29.4\,\text{J}$ 全部变成动能：由 $\tfrac12mv^2=mgh$ 得 $v=\sqrt{2gh}\approx7.67\,\text{m/s}$ 。曲面的形状、物块的质量都不影响结果，只看下降的高度。
3滑上粗糙地面
让地面的 $\mu=0.3$ 。滑过 $5\,\text{m}$ 后，摩擦力做了 $\mu mg\,s=14.7\,\text{J}$ 的负功，变成了热。能量去了一半， $v\approx5.42\,\text{m/s}$ ，三根能量条加起来仍是 $29.4\,\text{J}$ 。
4停在哪里
对全过程用动能定理： $mgh-\mu mg\,d=0$ ，所以 $d=\dfrac h\mu=10\,\text{m}$ 。质量加倍到 $2\,\text{kg}$ ， $58.8\,\text{J}$ 依然在同一个位置全部变成热。

1
动能定理
合外力对物体做的功等于物体动能的变化：
$W_{\text{合}}=\tfrac12mv_2^2-\tfrac12mv_1^2$
它只看始末状态，不管中间过程，所以曲面这类用牛顿定律很难算的问题，用它一步就能解决。下滑时重力做功 $mgh$ ，在地面上摩擦力做功 $-\mu mg\,s$ 。
2
机械能守恒，直到出现摩擦
只有重力做功时，势能与动能之和保持不变：
$mgh_1+\tfrac12mv_1^2=mgh_2+\tfrac12mv_2^2$
支持力始终与运动方向垂直，不做功。摩擦力做功，拿走的机械能变成了热 $Q=\mu mg\,s$ ；把热也算进去，总能量仍然守恒。
3
为什么质量总被约掉
这里每一项都带 $m$ ： $mgh$ 、 $\tfrac12mv^2$ 、 $\mu mg\,s$ 。约掉后，底端速度 $v=\sqrt{2gh}$ 和滑行距离 $d=h/\mu$ 对轻物块和重物块都一样（忽略空气阻力）。

Q01

小孩从 $5\,\text{m}$ 高的光滑滑梯顶端由静止滑下，到底端的速度约为（ $g=9.8\,\text{m/s}^2$ ）

Q02

物块以 $5\,\text{m/s}$ 滑上 $\mu=0.25$ 的粗糙地面，能滑行多远？

Q03

物块沿曲面下滑时，支持力做的功

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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