抛体运动：水平匀速，竖直自由落体

平抛与斜抛 · Projectile motion

抛出去的球为什么走抛物线？什么角度扔得最远？

设定初速度、抛射角和高度，把球抛出去，看速度分解成不变的水平分量和受重力改变的竖直分量，同时读出飞行时间、射程和最大高度。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

v_0

16.0

\theta\,(^\circ)

45°

h

0.0

t

1.20

R = \dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{g}

小球在空中

跟着走一遍

1从高处水平抛出
从 $h=20\,\text{m}$ 高处以 $10\,\text{m/s}$ 水平抛出。下落时间和自由落体一样， $t=\sqrt{2h/g}\approx2.02\,\text{s}$ ，这段时间里水平方向走了 $10\times2.02\approx20.2\,\text{m}$ 。
245° 斜向上抛
从地面以 $12\,\text{m/s}$ 、 $45^\circ$ 抛出，两个分量都是 $12\cos45^\circ\approx8.49\,\text{m/s}$ 。小球在空中 $1.73\,\text{s}$ ，最高 $3.67\,\text{m}$ ，落在 $14.69\,\text{m}$ 外。
330°：更低，也更近
把角度降到 $30^\circ$ ，轨迹更平，射程缩短为 $\dfrac{v_0^2\sin60^\circ}{g}\approx12.73\,\text{m}$ 。
460°：落在同一个地方
再试 $60^\circ$ ：球飞得高得多，却落在同样的 $12.73\,\text{m}$ 处。互余的两个角射程相同， $45^\circ$ 正好在中间，射程最远。

1
两个互不干扰的运动
忽略空气阻力时，物体只受重力，而重力竖直向下。所以水平速度始终不变，竖直速度每秒改变 $g=9.8\,\text{m/s}^2$ ：
$x=v_0\cos\theta\cdot t,\qquad y=h+v_0\sin\theta\cdot t-\tfrac12gt^2$
看画板上的蓝色箭头：整个飞行过程中长度都不变，变的只有红色箭头。
2
为什么轨迹是抛物线
用 $t=\dfrac{x}{v_0\cos\theta}$ 消去 $t$ ：
$y=h+x\tan\theta-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\,x^2$
这是关于 $x$ 的二次函数，二次项系数为负，所以是开口向下的抛物线。水平匀速把"时间"换成了"距离"，自由落体里的 $t^2$ 就变成了 $x^2$ 。
3
地面抛出的射程
当 $h=0$ 时，小球在 $t=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}$ 时回到 $y=0$ 。乘以水平速度得：
$R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$
$\sin2\theta$ 在 $2\theta=90^\circ$ 时最大，所以 $45^\circ$ 扔得最远； $\theta$ 和 $90^\circ-\theta$ 的 $\sin2\theta$ 相同，射程也相同。从高处抛出时，最佳角度略小于 $45^\circ$ ，可以调高 $h$ 试一试。

Q01

同一时刻，一个球从桌边自由下落，另一个被水平推出。哪个先落地？

Q02

以 $v_0$ 、抛射角 $\theta$ 抛出的球，在最高点的速度是多少？

Q03

从地面以 $20\,\text{m/s}$ 、 $30^\circ$ 抛出（取 $g=10$ ），射程是多少？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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