抛物线Parabola
到焦点与准线距离相等的点的轨迹——抛体轨迹与卫星天线的形状。
调节参数
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 焦点
- 准线
- 通径图中 = 4
- 离心率
p 是顶点到焦点的距离。
01 · 定义
什么是抛物线？
抛物线是到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，也是平面平行于圆锥母线截出的圆锥曲线。Menaechmus 约在公元前 350 年研究倍立方问题时研究了它；阿波罗尼奥斯给了它现在的名字。
两条性质让它无处不在。伽利略证明匀强重力下的抛体沿抛物线运动；而它的反射性质——从焦点发出的光线经反射后平行于对称轴射出，入射的平行光则汇聚于焦点——把抛物线放进了每一面卫星天线、车灯和射电望远镜。
02 · 性质
关键性质
- 对 x² = 4py，焦点为 (0, p)，准线为 y = −p。
- 所有抛物线彼此几何相似——只差一个缩放比例。
- 反射性质：过焦点的光线反射后平行于对称轴。
- 通径（过焦点且平行于准线的弦）长为 4p。
- 离心率恰为 1——椭圆与双曲线之间的分界。
03 · 问答
关于抛物线的常见问题
- 抛物线的方程是什么？
- 直角坐标方程：x^2 = 4py，y = (x^2)/4p。p 是顶点到焦点的距离。
04 · 实验
交互实验
高中大学
导数：切线的斜率
为什么导数就是切线的斜率？
割线斜率 · 导数定义 · 切线方程
打开实验初中高中
顶点式：a、h、k 怎样移动抛物线
y = a(x − h)² + k 里的 a、h、k 各自起什么作用？
顶点式 · 图像平移 · 对称轴
打开实验高中大学
圆锥曲线与离心率
为什么一个数就能让圆变成椭圆、抛物线和双曲线？
焦点与准线 · 离心率 · 椭圆、抛物线、双曲线
打开实验高中
抛体运动：水平匀速，竖直自由落体
抛出去的球为什么走抛物线？什么角度扔得最远？
运动的合成与分解 · 平抛运动 · 射程与抛射角
打开实验高中
抛物线：到焦点与到准线的距离相等
为什么抛物线 y² = 2px 的焦半径就是 x + p/2？过焦点的弦有多长？
焦点与准线 · 标准方程 y² = 2px · 焦半径
打开实验05 · 奇观
在数学奇观里看它
06 · 继续探索