往画着平行线的地板上随手扔针，为什么能算出 π？

设线距为 $d$，针长 $l\le d$。一根针由两个数决定：针的中点到最近一条线的距离 $y$（在 $0$ 到 $d/2$ 之间均匀）和针与线的夹角 $\theta$（在 $0$ 到 $\pi$ 之间均匀）。针压线当且仅当

把所有可能的 $(\theta,y)$ 画成一个长方形，压线的部分是一条正弦曲线下面的面积：

$l=d$ 时 $P=2/\pi\approx63.66\%$。π 来自对角度的平均。

扔 $N$ 根、压线 $C$ 根，估计 $\hat\pi=\dfrac{2lN}{dC}$。$C$ 是二项分布，相对波动约为 $1/\sqrt N$ 量级。$l=d$ 时，估计值的标准差约为

一万根针时约 0.024，两个标准差约 0.05，所以通常只准到一位小数。想准到 0.001，要扔两千万根以上。这就是蒙特卡罗方法的特点：什么问题都能估，但每多一位都贵 100 倍。

把针分成很多小段，每一小段压线的期望次数只和它的长度成正比（方向是随机的），而期望可以相加。所以任何形状的"面条"，平均压线次数都是

$k$ 是同一个常数。直径为 $d$ 的圆环，不论落在哪里都恰好和线相交 2 次，周长 $L=\pi d$，于是 $2=k\pi d$，$k=\dfrac{2}{\pi d}$。长度为 $l$ 的直针最多压线一次，压线概率就是 $\dfrac{2l}{\pi d}$。不用积分，π 从圆的周长里来。

1901 年，意大利数学家拉扎里尼报告：针长是线距的 5/6，扔 3408 根，压线 1808 根，

只差 0.0000003。按上面的误差，3408 根针的标准差约 0.05，准到这个程度本该几乎不可能。

关键在于：要得到 $\frac{355}{113}$，扔的针数必须是 213 的倍数（3408 = 16 × 213），压线数也必须正好对上。扔 3408 根时恰好压线 1808 根的概率约 1.4%；如果边扔边看、在合适的时候停下，或者干脆凑数，就容易得多。统计学家常拿它当"挑选停止时机"的例子。