两行公式、四个数，为什么能画出这样的图？

这组公式叫 Clifford 吸引子（归于 Clifford Pickover）：

因为 $|\sin|$、$|\cos|$ 不超过 1，点永远待在 $|x|\le1+|c|$、$|y|\le1+|d|$ 的方框里，不会跑到无穷远。画板做的事情很简单：迭代三百万次，统计每个像素被落中多少次，用对数把次数映射成亮度。

取两个挨得极近的起点，各自迭代。如果它们的距离平均每步乘以 $e^{\lambda}$，$\lambda$ 就是（最大）李雅普诺夫指数。画板用雅可比矩阵带着一个切向量一起迭代来算它。

• $\lambda>0$：微小的差别被指数放大，这是混沌，点铺成一幅有分形细节的画。
• $\lambda<0$：差别被压小，所有点都被吸进同一个循环。$a=-0.95$、$b=1.6$、$c=1$、$d=0.7$ 时是一个 3 点循环。
• $\lambda\approx0$：点沿一条闭合曲线绕圈，不混沌也不停下。

画廊里的六幅，$\lambda$ 都大于 0。

混沌并不意味着点在方框里乱撒。映射会把平面反复拉伸、折叠：拉伸让相邻的点分开（混沌），折叠把它们收回有限的区域。一遍遍拉伸折叠之后留下的，是一个面积为零、却有无穷层细节的集合，点在上面的分布还有固定的疏密，这就是画面里的明暗。

洛伦兹吸引子（本站第 3 个奇观）是连续时间里的同一类东西；这里是离散的一步一跳，所以几百万个点只要零点几秒就能算完。