质数螺旋：极坐标里的质数为什么排成螺旋和射线

Q: 和乌拉姆螺旋是一回事吗？

不是。乌拉姆螺旋把整数绕成方形螺旋，质数常排在斜线上，那些斜线对应二次多项式，比如欧拉的 n^2+n+41 在 n=0 到 39 时全是质数。这里的螺旋和射线则来自 2π 的分数逼近。

Q: 如果用角度而不是弧度呢？

那每 360 个数正好转回原处，图案变成 360 条笔直的射线，不会弯。质数落在其中 \varphi(360)=96 条上。弧度让 2π 成为无理数，螺旋才会出现。

讲解

螺旋属于整数，不属于质数：6、44、710 弧度都几乎是整圈（44/7 和 710/113 是 2π 最好的分数逼近）。质数只是避开和这些数有公因数的臂，再在剩下的臂上平分（狄利克雷定理）。

01一个数，一个点

极坐标用"离中心多远"和"转了多少"确定一个点。把整数 $n$ 放在

r=n,\qquad\theta=n\ \text{弧度}

所有点都落在阿基米德螺线 $r=\theta$ 上，相邻两个数相差 1 弧度（约 57.3°）。画板上琥珀色是质数，蓝色是其他整数。

近看只有一条松散的螺旋；规律要拉远才出现。

02为什么是 6、44、710

$n$ 和 $n+m$ 的方向相差 $m$ 弧度。如果 $m$ 几乎是整数圈， $n+m$ 就落在 $n$ 的正外侧、只偏一点点，于是每隔 $m$ 个数连成一条慢慢弯过去的臂，一共 $m$ 条：

6-2\pi\approx-0.283,\quad 44-14\pi\approx0.0177,\quad 710-226\pi\approx0.00006

偏得越少，臂越直：6 条臂每向外 133 个数就绕一圈，所以要在 150 左右看；44 条螺旋绕一圈要约 1.56 万；710 条要 7400 万，在 100 万以内看起来就是射线。

这些数来自 $2\pi$ 的连分数

2\pi=[6;3,1,1,7,2,146,\dots]

它的渐近分数是 $6,\frac{19}{3},\frac{25}{4},\frac{44}{7},\frac{333}{53},\frac{710}{113}$ 。下一项越大，这个分数逼近得越好，对应的臂也越清楚：6 后面是 3，44 后面是 7，710 后面是 146。约掉 2 就是 π 的著名近似 $\frac{22}{7}$ 和 $\frac{355}{113}$ 。

03质数挑走了哪些臂

第 $r$ 条臂上的数都是 $mk+r$ 。如果 $r$ 和 $m$ 有公因数 $d>1$ ，这条臂上的每个数都能被 $d$ 整除，最多只有 $d$ 本身是质数。所以质数只落在 $r$ 和 $m$ 互质的臂上，这样的臂有 $\varphi(m)$ 条（欧拉函数）：

\varphi(6)=2,\qquad\varphi(44)=20,\qquad\varphi(710)=280

44 条里空掉的 24 条，是偶数臂和 11 的倍数臂； $710=2\times5\times71$ ，空掉的是 2、5、71 的倍数。

04狄利克雷定理：平分

1837 年狄利克雷证明：只要 $r$ 和 $m$ 互质， $mk+r$ 里就有无穷多个质数，而且长远看每条这样的臂分到的质数一样多。

画板上的数据可以验证：100 万以内有 78498 个质数，按除以 44 的余数分到 20 条臂上，每条在 3874 到 3964 个之间；分到 710 的 280 条射线上，平均约 280 个。

所以这些图案说的不是"质数有隐藏的螺旋结构"，而是两件更朴素的事：整数在极坐标里排成螺旋，质数在允许的臂上分布均匀。

常见问题

这能用来找质数吗？

不能。图案只告诉你哪些臂上一定没有质数（和模数有公因数的臂）；在允许的臂上，哪个数是质数仍然要逐个判断，看起来和随机差不多。

和乌拉姆螺旋是一回事吗？

不是。乌拉姆螺旋把整数绕成方形螺旋，质数常排在斜线上，那些斜线对应二次多项式，比如欧拉的 $n^2+n+41$ 在 $n=0$ 到 $39$ 时全是质数。这里的螺旋和射线则来自 2π 的分数逼近。

如果用角度而不是弧度呢？

那每 360 个数正好转回原处，图案变成 360 条笔直的射线，不会弯。质数落在其中 $\varphi(360)=96$ 条上。弧度让 2π 成为无理数，螺旋才会出现。

课本里的这部分

实验室单位圆与正弦为什么一个点绕圆转动，会画出正弦波？

把质数画在极坐标上，为什么会出现螺旋和射线？