高尔顿板：小球随机乱撞，为什么总落成钟形曲线

几十颗时柱子高低不齐，几百颗时轮廓就出来了，几千颗时和理论曲线几乎重合。偏差大约按 1/\sqrt N 缩小：球数多 100 倍，相对误差小 10 倍。

讲解

一颗球落在哪一格，只取决于它向右拐了几次；拐 k 次的路径有"组合数"那么多条，中间多、两边少。许多独立的小偏差加在一起，结果总是接近正态分布，这就是中心极限定理。

01数路径：杨辉三角

到达一颗钉子的路，要么从左上方来，要么从右上方来，所以路径数是上面两个数之和。这正是杨辉三角（帕斯卡三角）的规则。

一颗球穿过 $n$ 排后落在第 $k$ 格（从 0 数起），等于它向右拐了 $k$ 次。这样的路径有

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

条，每条的概率都是 $\left(\tfrac12\right)^n$ 。12 排时一共 $2^{12}=4096$ 条路，正中一格 $\binom{12}{6}=924$ 条，概率约 22.6%。

每次向右的概率是 $p$ 时，落在第 $k$ 格的概率是

P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

平均落在 $np$ 格，标准差是 $\sqrt{np(1-p)}$ 。 $p=\tfrac12$ 、24 排时平均 12 格、标准差约 2.45；倾斜到 $p=0.7$ 时平均移到 16.8 格，标准差约 2.24，山变窄了一点，但还是钟形。

画板上的故事是用固定的随机种子算出来的：两千颗球每一格的实测比例和理论值相差都不到 2 个百分点。

把每次向右记作 $+1$ 、向左记作 $0$ ，落点就是 $n$ 个独立小量之和。中心极限定理说：许多独立的随机小量相加，不管每一个长什么样，和的分布都接近正态分布

\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}

正态分布约 68% 落在平均值左右一个标准差之内。24 排的高尔顿板是 69%，已经很接近。

身高、测量误差、考试成绩常常接近钟形，也是因为它们由许多独立的小因素叠加而成。

真实的高尔顿板为什么不完全对称？

真实的小球会互相碰撞、在钉子上弹得不止一格，钉子也不可能完全对齐，所以左右并不严格各占一半，各次之间也不完全独立。好在中心极限定理只要求"许多大致独立的小偏差"，形状依然接近钟形。

是谁发明的？

英国科学家弗朗西斯·高尔顿在 19 世纪 70 年代用它演示正态分布，所以也叫"梅花板"或"豆子机"。

放多少颗球才能看出钟形？

几十颗时柱子高低不齐，几百颗时轮廓就出来了，几千颗时和理论曲线几乎重合。偏差大约按 $1/\sqrt N$ 缩小：球数多 100 倍，相对误差小 10 倍。