二项分布：数出路径，再乘上每条路径的概率

二项分布 · Binomial distribution

P(X = k) = C(n, k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ 是怎么来的？为什么均值是 np？

把成功概率为 p 的试验重复 n 次。每一个恰有 k 次成功的序列概率都是 pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ，这样的序列有 C(n, k) 个。画板把所有柱子加起来，量出总和、均值和方差，再和 1、np、np(1 − p) 比较。

n

p

0.30

k

\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

跟着走一遍

1先看一条路径，再数路径
做 $10$ 次试验，每次成功概率 $0.3$ 。某一个恰好成功 $3$ 次的序列，比如"成成成败败败败败败败"，概率是 $0.3^3\times0.7^7=0.002224$ ，因为独立事件的概率相乘。这样的序列有 $\binom{10}{3}=120$ 个，概率都一样，所以 $P(X=3)=120\times0.002224=0.2668$ 。
2柱子加起来是 1
每个序列的成功次数总在 $0$ 到 $n$ 之间，所以这些柱子分完了全部概率，加起来是 $1$ 。按柱子算出的均值 $\sum k\,P(X=k)$ 是 $3=np$ ，方差是 $2.1=np(1-p)$ 。
3均匀硬币左右对称
$p=0.5$ 时，成功和失败对调不改变任何东西，所以柱子关于 $np=10$ 对称。抛 $20$ 次，最高的一根是 $P(X=10)=0.1762$ ：即使是最可能的次数，也不到五次里出现一次。
4小概率事件
$p=0.05$ 、做 $20$ 次时， $P(X=0)=0.95^{20}=0.3585$ ：大约三分之一的可能一次都不成功，均值只有 $np=1$ 。

1
公式从哪里来
把 $n$ 次结果写成一串"成"和"败"。各次试验相互独立，所以一串结果的概率等于每个字母的概率相乘；含 $k$ 个"成"、 $n-k$ 个"败"的串，不论顺序如何，概率都是 $p^k(1-p)^{n-k}$ 。这样的串有多少个？就是从 $n$ 个位置里选出哪 $k$ 个放"成"： $\binom nk$ 个。不同的串互不相容，概率直接相加：
$P(X=k)=\binom nk\,p^k(1-p)^{n-k}$
2
为什么总和是 1
把 $(p+(1-p))^n$ 的 $n$ 个括号乘开：从其中 $k$ 个括号里取 $p$ 、其余取 $1-p$ ，有 $\binom nk$ 种取法。所以这些柱子正好是二项式展开的各项，"二项分布"的名字就是这么来的，它们的和是 $1^n=1$ 。
3
不用公式求均值和方差
设第 $i$ 次成功时 $X_i=1$ ，失败时 $X_i=0$ ，那么 $X=X_1+\cdots+X_n$ 。每个 $X_i$ 的均值是 $1\cdot p+0\cdot(1-p)=p$ ，方差是 $E(X_i^2)-p^2=p-p^2=p(1-p)$ 。均值总是可以相加；试验相互独立时，方差也可以相加：
$E(X)=np,\qquad D(X)=np(1-p)$
画板没有用这两个公式，而是直接把柱子加起来，结果和公式一致。
4
什么时候能用
需要三个条件：试验次数 $n$ 固定；每次只有两种结果，成功概率都是 $p$ ；各次之间相互独立。不放回地抽取会破坏后两条，因为每抽一次剩下的就变了，那是超几何分布。

Q01

均匀硬币抛 $4$ 次，恰好 $2$ 次正面的概率是多少？

Q02

为什么所有恰有 $k$ 次成功的序列概率都相同？

Q03

一份试卷有 $50$ 道四选一的选择题，全部瞎猜，期望答对几道？

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

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