正态分布：把 68%、95%、99.7% 当作面积量出来

正态分布与 3σ · Normal distribution & 3σ

为什么不论 μ、σ 取多少，落在 1 个、2 个、3 个标准差以内的比例都一样？

拖动均值和标准差，再给 μ ± kσ 这一段涂上阴影。画板对这一段曲线做数值积分：k = 1、2、3 时约为 0.683、0.954、0.997，不论 μ、σ 取什么，因为改变它们只是把同一幅图平移和伸缩。

画板上带圆环的点可以直接拖动。

高中
正态密度曲线
概率即面积
3σ 原则
标准化 z = (x − μ)/σ

\mu

0.0

\sigma

1.00

k

1σ

2σ

3σ

2.00

\mu \pm 3\sigma:\ 99.73\%

$P(\mu - k\sigma < X < \mu + k\sigma)$: 0.9545
$\mu - k\sigma$: -2.00
$\mu + k\sigma$: 2.00
$\text{总面积}$: 1.000000
$f(\mu) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$: 0.3989
$\text{单侧尾部}$: 0.02275

跟着走一遍

1概率就是面积
对于连续取值的量，这条曲线是密度：落在两个值之间的概率，就是这两个值之间曲线下的面积。总面积是 $1$ 。涂上 $\mu\pm2\sigma$ 这一段，画板量出 $0.9545$ 。
268%、95%、99.7%
一个标准差以内是 $0.6827$ ，两个以内是 $0.9545$ ，三个以内是 $0.9973$ ，每一侧尾部只剩 $0.00135$ 。这就是 $3\sigma$ 原则：落在 $\mu\pm3\sigma$ 之外的大约只有千分之三。
3改变 σ，比例不变
把 $\sigma$ 调到 $2$ ，再把 $\mu$ 移到 $1.5$ 。曲线宽了一倍、矮了一半（峰值 $0.1995$ ），所以 $\mu\pm\sigma$ 上的面积不变，仍是 $0.6827$ 。
4又窄又高
$\sigma=0.6$ 时峰值升到 $0.6649$ ，但总面积仍然是 $1$ ：标准差变小，同样多的概率被挤进更窄的范围里。

讲解

1
这条曲线
均值为 $\mu$ 、标准差为 $\sigma$ 的正态密度是
$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
- 它关于 $\mu$ 对称，在 $\mu$ 处最高。
- 它恰好在 $\mu\pm\sigma$ 处改变弯曲方向（红点）： $f''(x)$ 的符号与 $(x-\mu)^2-\sigma^2$ 相同。
- 前面的系数 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ 只是为了让总面积等于 $1$ ，画板用数值积分验证了这一点。
2
为什么比例与 μ、σ 无关
令 $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ ，则 $dx=\sigma\,dz$ ， $x=\mu\pm k\sigma$ 变成 $z=\pm k$ ：
$\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx=\int_{-k}^{k}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz$
$\mu$ 和 $\sigma$ 都消失了。改变 $\mu$ 只是平移；改变 $\sigma$ 是横向拉伸 $\sigma$ 倍、纵向压缩 $\sigma$ 倍，面积不变。所以一张标准正态分布表就能用于所有正态分布。
3
0.6827 是怎么算出来的
$e^{-z^2/2}$ 的积分写不成初等函数，这些数只能算出来。画板做的就是编表的人做的事：把 $[\mu-k\sigma,\,\mu+k\sigma]$ 切成 $48$ 条，用辛普森公式加起来，这里的精度好于 $10^{-5}$ 。总面积恰好是 $1$ 可以严格证明（把积分平方后换成极坐标），但那个证明超出了本章的范围。
4
为什么这么多量服从正态分布
一个量如果由许多微小、独立的因素叠加而成，比如身高、测量误差、多次抛硬币的正面次数，那么不论每个因素是什么分布，它都接近正态分布。这就是中心极限定理。在二项分布那一章可以看到它的开端： $p=0.5$ 、 $n=20$ 时柱子已经排成一口钟的形状。

随堂检测

Q01

身高服从 $\mu=170$ cm、 $\sigma=6$ cm 的正态分布。身高在 $158$ 到 $182$ cm 之间的大约占多少？

Q02

$\sigma$ 变成原来的 $2$ 倍，曲线的峰值怎样变化？

Q03

某零件标准尺寸 $10.00$ mm， $\sigma=0.02$ mm。测得一个零件为 $10.08$ mm，按 $3\sigma$ 原则应怎样判断？

继续探索

把这个实验做成讲解视频以这个实验为脚本，生成一段可以分享的配音讲解视频。下面的提示词会带到视频生成器里，你可以先改再生成。

生成视频

VIEW · 显示设置