偶数除以 2，奇数乘 3 加 1，为什么最后总会掉到 1？

对正整数 $n$，定义

不断重复 $f$。Collatz 猜想（也叫 3n+1 问题、冰雹猜想）说：不管从哪个正整数开始，最后都会到达 1，然后在 4、2、1 里循环。

1937 年洛塔尔·科拉茨提出这个问题。它的路径忽上忽下：27 要 111 步，最高到 9232；1 万以内最长的是 6171，要 261 步。

每个数只有一个"下一步"，所以所有路径合起来是一棵以 1 为根的树：从 $n$ 往回走，$2n$ 一定能到 $n$；只有当 $n-1$ 是 3 的倍数、且 $(n-1)/3$ 是奇数时，才多出一个分叉。

画板从根 1 出发，每往回走一步，遇到偶数向左转 0.16 弧度，遇到奇数向右转 0.29 弧度，每步长度相同。1 到 1 万的路径一共经过 21664 个不同的数（路上会经过比 1 万大得多的数）。线越粗，表示 1 到 1 万中经过这段的数越多。这种画法因 Edmund Harriss 的作品而流行，这里是按规则自己算出来的。

奇数 $n$ 乘 3 加 1 后一定是偶数，至少要除一次 2；一半的情况能除两次，四分之一能除三次……平均下来，每次乘 3 后要除以 2 两次。把这一步看成"乘 3、除以 4"：

所以按"平均"的想法，数会越来越小。但这只是平均：一个特定的数完全可能连续好几次只除一次 2，一路涨上去。要证明猜想，就得排除"永远涨下去"和"掉进别的循环"两种可能，目前的数学工具还做不到。

• 验证：2020 年 David Barina 用计算机验证到 $2^{68}\approx2.95\times10^{20}$，全部落到 1。
• 几乎所有：2019 年陶哲轩证明，几乎所有起点的轨道都会降到"几乎有界"的值，这是目前最强的结果之一，但"几乎所有"不是"所有"。
• 没有其他小循环：已知如果存在别的循环，它必须非常长。

数学家保罗·埃尔德什说过："数学还没有准备好解决这样的问题。"