傅里叶级数动画：一串旋转的圆怎样画出任何曲线

讲解

任何周期运动都能拆成一串匀速旋转的圆；圆越多越准，但拐角处约 9% 的尖角永远不会消失。

01一个圆，一条正弦波

一个点在半径为 $r$ 的圆上匀速转，角度 $\theta$ 随时间均匀增加。它的高度是 $r\sin\theta$ ，把高度随时间记下来，就是一条正弦波。

圆转得越快，波越密；圆越大，波越高。转速和半径，就是这个圆的全部信息。

把第二个圆的圆心钉在第一个圆的边上，末端的高度就是两条正弦波相加。方波需要的圆是这样一串：转速取 1、3、5、7……倍，半径按 $1, \tfrac13, \tfrac15, \tfrac17, \dots$ 缩小：

f(\theta)=\frac{4}{\pi}\left(\sin\theta+\frac{\sin 3\theta}{3}+\frac{\sin 5\theta}{5}+\cdots\right)

傅里叶在研究热传导时提出：任何周期函数都能写成这样一串正弦和余弦的和。每个圆的大小，就是那一项的系数。

曲线越尖锐，需要的圆越多。

方波在跳变处，部分和总会冲过头。加更多的圆，尖角会变窄、贴近跳变点，但它的高度稳定在跳变幅度的约 8.95%。对 $\pm1$ 的方波，峰值约为 $1.179$ 。

误差的总量确实越来越小（尖角越来越窄），但最大偏差不会消失。数学上说，傅里叶级数在跳变附近不一致收敛。Wilbraham 在 1848 年最先注意到它，Gibbs 在 1899 年再次指出，名字因此留给了 Gibbs。

工程里常用加权平均（如 Fejér 求和）压掉尖角，代价是拐角变圆。

把平面上的点看成复数 $z=x+iy$ ，一个旋转的圆就是 $c_k e^{2\pi i k t}$ ： $|c_k|$ 是半径， $c_k$ 的辐角是起始角度， $k$ 是转速（负数表示顺时针）。一条闭合曲线 $z(t)$ 可以写成

z(t)=\sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1} z_j\, e^{-2\pi i k j/N}

这里先把曲线按弧长均匀取 $N=256$ 个点 $z_j$ ，再做离散傅里叶变换求出每个圆。画的时候按半径从大到小排，最大的圆决定大轮廓，小圆负责细节。

画板上的 π：3 个圆的误差约 40%，30 个约 2%，100 个只剩约 0.3%。

"拆成一串频率"几乎是现代信号处理的起点：

为什么一定是圆？

匀速转圆是最简单的周期运动：它在任一方向上的投影都是正弦波。正弦波之间互不干扰（正交），所以每个圆的大小可以单独算出来，加减一个圆也不影响其他圆。

要多少个圆才够？

取决于曲线有多"尖"。光滑的曲线系数下降得快，几个圆就很像；有拐角或跳变的曲线下降得慢，要很多圆，而且跳变处总留着吉布斯尖角。

吉布斯尖角能去掉吗？

只加圆去不掉。可以给各项加权（例如 Fejér 求和、σ 因子）把尖角压平，代价是拐角变得圆钝。

我画的线没有闭合，会怎样？

傅里叶级数默认曲线是周期的，会把终点直接连回起点。这一段相当于一个跳变，你会在那里看到圆圈来回抖动的波纹，这正是吉布斯现象在平面上的样子。