内旋轮线的方程是什么？

参数方程：x = (R-r) cos t + d cos(((R-r)/r)t)，y = (R-r) sin t - d sin(((R-r)/r)t)。R 是定圆，r 是滚动圆，d 是笔尖到滚动圆圆心的距离。

内旋轮线Hypotrochoid

万花尺曲线：笔尖固定在小圆内距圆心 d 处，小圆沿大圆内侧滚动。

调节参数

R（固定环）5r（滚动轮）3d（笔尖偏距）5

导出

参数方程: $x = (R-r)\cos t + d\cos\!\big(\tfrac{R-r}{r}t\big)$ $y = (R-r)\sin t - d\sin\!\big(\tfrac{R-r}{r}t\big)$
周期 · R、r 为整数: $T = \frac{2\pi r}{\gcd(R, r)}$
离中心最远: $R - r + d$

R 是定圆，r 是滚动圆，d 是笔尖到滚动圆圆心的距离。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

内旋轮线是内摆线的推广：描点可以位于滚动圆内外距圆心任意距离 d 处，而不限于圆周上。d < r 时尖点软化为波浪；d > r 时绽放成小环。这正是万花尺玩具的几何——你选择的笔孔位置就是参数 d。

闭合条件是纯粹的数论：图案在绕环 r/gcd(R, r) 圈后完成，花瓣数量与花纹密度可以直接从整数 R、r 读出。经典万花尺造型 R = 5、r = 3、d = 5 绕三圈闭合，呈现丰富的三重对称。

02 · 性质

03 · 问答

内旋轮线的方程是什么？: 参数方程：x = (R-r) cos t + d cos(((R-r)/r)t)，y = (R-r) sin t - d sin(((R-r)/r)t)。R 是定圆，r 是滚动圆，d 是笔尖到滚动圆圆心的距离。

04 · 奇观

05 · 继续探索