星形线Astroid
四尖点星形 x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)，同时是滑动梯子的包络线。
调节参数
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公式与关键数值
- 直角坐标方程
- 参数方程
- 周长图中 = 6
- 面积图中 ≈ 1.178
- 尖点数
a 是中心到每个尖点的距离（即定圆半径）。
01 · 定义
什么是星形线？
星形线是四尖点的内摆线：小圆在半径为其四倍的大圆内滚动，圆周上一点画出星形 x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)。指数 2/3 使它成为 Lamé 曲线（超椭圆）族中 n = 2/3 的成员——该家族的内凹极端。
它还有另一种完全不同的构造：让固定长度的梯子沿墙下滑，梯子永远进不去的区域，其边界就是星形线。换句话说，星形线是两端点分别落在坐标轴上、长度为 a 的所有线段的包络——包络问题与相关变化率问题里的常客。
02 · 性质
关键性质
- 周长 6a、面积 3πa²/8——尽管有尖点，两者都是初等值。
- 它是 k = 4（即 R = 4r）的内摆线。
- 它是两端在坐标轴上滑动、长为 a 的线段的包络。
- 每条切线被两坐标轴截出的线段长度恒为 a。
- 它与椭圆的渐屈线只差一个轴向伸缩。
03 · 问答
关于星形线的常见问题
- 星形线的方程是什么？
- 直角坐标方程：x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)；参数方程：x = a cos^3 t，y = a sin^3 t。a 是中心到每个尖点的距离（即定圆半径）。
- 星形线的周长是多少？
- 周长：L = 6a。a 是中心到每个尖点的距离（即定圆半径）。
- 星形线的面积是多少？
- 面积：A = (3/8)π a^2。a 是中心到每个尖点的距离（即定圆半径）。
04 · 继续探索