星形线
滚动曲线（旋轮线族）四尖点星形 x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3},同时是滑动梯子的包络线。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是星形线？
星形线是四尖点的内摆线:小圆在半径为其四倍的大圆内滚动,圆周上一点画出星形 x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}。指数 2/3 使它成为 Lamé 曲线(超椭圆)族中 n = 2/3 的成员——该家族的内凹极端。
它还有另一种完全不同的构造:让固定长度的梯子沿墙下滑,梯子永远进不去的区域,其边界就是星形线。换句话说,星形线是两端点分别落在坐标轴上、长度为 a 的所有线段的包络——包络问题与相关变化率问题里的常客。
关键性质
- 周长 6a、面积 3πa²/8——尽管有尖点,两者都是初等值。
- 它是 k = 4(即 R = 4r)的内摆线。
- 它是两端在坐标轴上滑动、长为 a 的线段的包络。
- 每条切线被两坐标轴截出的线段长度恒为 a。
- 它与椭圆的渐屈线只差一个轴向伸缩。
它出现在哪里
滑梯子问题、某些反射光焦散图样,以及力学中的应力线可视化。