超椭圆的方程是什么？

超椭圆的面积是多少？

面积：A = 4ab (Γ(1 + 1/n)^2)/(Γ(1 + 2/n))。a、b 是半轴长（图中 b = 1），n 是指数；n = 2 时就是椭圆。

Lamé 曲线 |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1，在椭圆与矩形之间连续过渡——"方圆形"的几何。

调节参数

n（指数）4a（半宽）1.25

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直角坐标方程: $\left|\frac{x}{a}\right|^n + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1$
参数方程: $x = a\,\operatorname{sgn}(\cos t)\,|\cos t|^{2/n}$ $y = b\,\operatorname{sgn}(\sin t)\,|\sin t|^{2/n}$
面积图中 ≈ 4.635: $A = 4ab\,\frac{\Gamma(1 + 1/n)^2}{\Gamma(1 + 2/n)}$

a、b 是半轴长（图中 b = 1），n 是指数；n = 2 时就是椭圆。

讲解视频

带着图中的参数打开视频模板。片中每个数都在渲染前算好，可选横屏或竖屏。

01 · 定义

Lamé 在 1818 年解放了椭圆方程的指数，得到 |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1。n = 2 是普通椭圆；n 增大时，边越来越平，逼近矩形；n 小于 1 时，边向内凹陷，到 n = 2/3（且 a = b）时成为四角星——星形线。

丹麦设计师 Piet Hein 在 1959 年让 n = 2.5 名声大噪：他用它设计了斯德哥尔摩市中心的 Sergels Torg 环岛，理由是它调和了机械的矩形与有机的椭圆。n ≈ 4 附近的"方圆形"(squircle)如今勾勒着桌面、体育场，以及你手机上的圆角图标。

02 · 性质

03 · 问答

超椭圆的方程是什么？: 直角坐标方程：|x/a|^{^n} + |y/b|^{^n} = 1；参数方程：x = a sgn(cos t) |cos t|^{^(2/n)}，y = b sgn(sin t) |sin t|^{^(2/n)}。a、b 是半轴长（图中 b = 1），n 是指数；n = 2 时就是椭圆。
超椭圆的面积是多少？: 面积：A = 4ab (Γ(1 + 1/n)^{^2})/(Γ(1 + 2/n))。a、b 是半轴长（图中 b = 1），n 是指数；n = 2 时就是椭圆。

04 · 继续探索