超椭圆
参数曲线Lamé 曲线 |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1,在椭圆与矩形之间连续过渡——"方圆形"的几何。
调节参数
方程
打开创作工作台，自动填入这条曲线的动画需求——渲染前可检查场景方案和 Manim 代码。
什么是超椭圆？
Lamé 在 1818 年解放了椭圆方程的指数,得到 |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1。n = 2 是普通椭圆;n 增大时,边越来越平,逼近矩形;n 小于 1 时,边向内凹陷,到 n = 2/3(且 a = b)时成为四角星——星形线。
丹麦设计师 Piet Hein 在 1959 年让 n = 2.5 名声大噪:他用它设计了斯德哥尔摩市中心的 Sergels Torg 环岛,理由是它调和了机械的矩形与有机的椭圆。n ≈ 4 附近的"方圆形"(squircle)如今勾勒着桌面、体育场,以及你手机上的圆角图标。
关键性质
- n = 2:椭圆;n = 1:菱形;n → ∞:矩形;n = 2/3 且 a = b:星形线。
- 参数化:x = a·sgn(cos t)|cos t|^{2/n},y = b·sgn(sin t)|sin t|^{2/n}。
- 面积涉及 Γ 函数:4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n)。
- 关于两条坐标轴对称;n ≥ 1 时是凸的。
- Piet Hein 的"超级蛋"——超椭圆的旋转体——能稳稳立在端点上。
它出现在哪里
手机应用图标轮廓、斯德哥尔摩 Sergels Torg 环岛、体育场与桌面设计,以及字体字形工程。